Question

提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個(gè)問題，我們可以先從一些簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手：

（1）當(dāng)AP＝AD時(shí)（如圖②）：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S_△ABP＝S_△ABD ．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S_△CDP＝S_△CDA ．

∴S_△PBC ＝S_{四邊形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP

＝S_{四邊形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA

＝S_{四邊形ABCD}－(S_{四邊形ABCD}－S_△DBC)－(S_{四邊形ABCD}－S_△ABC)

＝S_△DBC＋S_△ABC ．

（2）當(dāng)AP＝AD時(shí)，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；

（3）當(dāng)AP＝AD時(shí)，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式為：________________；

（4）一般地，當(dāng)AP＝AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；

問題解決：當(dāng)AP＝AD（0≤≤1）時(shí)，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式為：___________．

Answer 1

解：⑵ ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S_△ABP＝S_△ABD ．

又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S_△CDP＝S_△CDA ．

∴S_△PBC ＝S_{四邊形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP

＝S_{四邊形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA

＝S_{四邊形ABCD}－(S_{四邊形ABCD}－S_△DBC)－(S_{四邊形ABCD}－S_△ABC)

＝S_△DBC＋S_△ABC ．

∴S_△PBC＝S_△DBC＋S_△ABC ．                       

⑶ S_△PBC＝S_△DBC＋S_△ABC ；          

⑷ S_△PBC＝S_△DBC＋S_△ABC ；

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S_△ABP＝S_△ABD ．

又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S_△CDP＝S_△CDA ．

∴S_△PBC ＝S_{四邊形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP

＝S_{四邊形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA

＝S_{四邊形ABCD}－(S_{四邊形ABCD}－S_△DBC)－(S_{四邊形ABCD}－S_△ABC)

＝S_△DBC＋S_△ABC ．

∴S_△PBC＝S_△DBC＋S_△ABC ．           

問題解決： S_△PBC＝S_△DBC＋S_△ABC ．