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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C,在MN上是否存在點(diǎn)D,使AB•CD=AC•BC(  )
          A、不存在B、存在一點(diǎn)C、存在二點(diǎn)D、存在無數(shù)點(diǎn)
          分析:存在兩個(gè)點(diǎn)D,使AB•CD=AC•BC成立,要證明乘積的形式通?梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式:①
          AB
          AC
          =
          BC
          CD
          ,此時(shí)需證Rt△ABC∽R(shí)t△ACD,那么過A作MN的垂線,那么垂足即為符合條件的D點(diǎn);②
          AB
          BC
          =
          AC
          CD
          ,此時(shí)需證Rt△ABC∽R(shí)t△CBD,則過B作MN的垂線,垂足也符合D點(diǎn)的條件.兩者的證明過程一致,都是通過弦切角得出一組對(duì)應(yīng)角相等,再加上一組直角得出三角形相似.
          解答:解:存在符合條件的點(diǎn)D,使AB•CD=AC•BC,
          證明:①過A作AD⊥MN于D,則AB•CD=AC•BC
          證明:∵M(jìn)N是半圓的切線,且切點(diǎn)為C,
          ∴∠ACD=∠B,
          ∵AB為半圓的直徑,又AD⊥MN,
          ∴∠ADC=∠ACB=90°精英家教網(wǎng)
          ∴△ABC∽△ACD,
          AB
          BC
          =
          AC
          CD
          ,即AB•CD=AC•BC;
          ②過B作BD⊥MN于D,則AB•CD=AC•BC,
          證明:∵M(jìn)N是半圓的切線,且切點(diǎn)為C,
          ∴∠BCD=∠A,
          ∵AB為半圓的直徑,又BD⊥MN,
          ∴∠BDC=∠ACB=90°,
          ∴△ABC∽△CBD,
          AB
          AC
          =
          CB
          CD
          ,即AB•CD=AC•BC,
          因此MN上存在兩個(gè)點(diǎn)D,使AB•CD=AC•BC.
          故選C
          點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理,弦切角定理及相似三角形的判定和性質(zhì),其中弦切角定理為:圓的弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角.要求學(xué)生能夠熟練掌握相似的判斷和性質(zhì)并應(yīng)用,考查了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)了學(xué)生分析問題,解決問題的能力.
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          (1)求∠ACM的度數(shù);
          (2)在MN上是否存在一點(diǎn)D,使AB•CD=AC•BC,為什么?

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