Question

22、已知α、β是方程x²+x-1=0的兩個實根，則α⁴-3β=

5

．

Answer 1

分析：由方程的根的定義，可知α²+α-1=0，移項，得α²=1-α，兩邊平方，整理得α⁴=2-3α①；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知α+β=-1②；將①②兩式分別代入α⁴-3β，即可求出其值．

解答：解：∵α是方程x²+x-1=0的根，
∴α²+α-1=0，
∴α²=1-α，
∴α⁴=1-2α+α²=1-2α+（1-α）=2-3α．
又∵α、β是方程x²+x-1=0的兩個實根，
∴α+β=-1．
∴α⁴-3β=2-3α-3β=2-3（α+β）=2-3×（-1）=5．
故答案為5．

點評：本題主要考查了方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．難度中等．關(guān)鍵是利用方程根的定義及完全平方公式將所求代數(shù)式降次，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．