Question

【題目】如圖1，過點(diǎn)A（0，4）的圓的圓心坐標(biāo)為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點(diǎn)，且BC⊥AC，拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ， ），拋物線的表達(dá)式為；
（2）如圖2，求證：BD∥AC；
（3）如圖3，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點(diǎn)P，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）6；2；y= x2+ x﹣7
（2）

證明：在拋物線表達(dá)式y(tǒng)= x2+ x﹣7中，令y=0，即 x2+ x﹣7=0，

解得x=2或x=7，∴D（7，0）．

如答圖2所示，

過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD= = = ；

在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= = = ．

在△BCD中，BD= ，BC= ，CD=5，

∵BD2+BC2=CD2

∴△BCD為直角三角形，∠CBD=90°，

∴∠CBD=∠ACB=90°，

∴AC∥BD

（3）

解：如答圖3所示：

由（2）知AC=BC= ，又AQ=5，

則在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ= = = ．

過點(diǎn)C作CF⊥PQ于點(diǎn)F，

∵S△ACQ= ACCQ= AQCF，

∴CF= = =2．

在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF= = =4．

由垂徑定理可知，AP=2AF，

∴AP=8．

【解析】（1.）解：如答圖1所示，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC與△CEB中，

∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE=OA=4，BE=OC=2，
∴OE=OC+CE=6．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2）．
∵點(diǎn)C（2，0），B（6，2）在拋物線y= x2+bx+c上，
∴ ，
解得b= ，c=﹣7．
∴拋物線的表達(dá)式為：y= x2+ x﹣7．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．