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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          (2005•濟寧)已知⊙P的圓心坐標為(1.5,0),半徑為2.5,⊙P與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸的負半軸交于點D.
          (1)求D點的坐標;
          (2)求過A、B、D三點的拋物線的解析式;
          (3)設平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點,問:是否存在以線段EF為直徑的圓O'恰好與⊙P相外切?若存在,求出其半徑r及圓心O'的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)已知了圓心P坐標即圓P的半徑,不難得出A、B的坐標,根據相交弦定理的推論,可得出OD2=OA•OB,即可求出OD的長,也就得出了D點的坐標.
          (2)已知了A、B、D三點坐標,可用待定系數法求出拋物線的解析式.
          (3)根據圓和拋物線的對稱性可知:圓心O′和圓心P必在拋物線的對稱軸上.本題應該分兩種情況:①圓O′在x軸上方;②圓O′在x軸下方;解法一致:都是根據兩圓外切的特點進行求解,由于兩圓外切,那么圓心O′的縱坐標的絕對值就是兩圓半徑之和,可設出圓O′的半徑,然后用圓O′的半徑,表示出E或F的坐標,然后將E或F的坐標代入拋物線的解析式中,即可求得圓O′的半徑長,也就可得出圓心O′的坐標.
          解答:解:(1)由已知,得OA=1,OB=4,
          ∴OD2=OA•OB=1×4,OD=2
          ∴D點的坐標為(0,-2);

          (2)設過A、B、D三點多拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把A(-1,0)、B(0,-2)的坐標代入解析式,得:


          ∴過點A、B、D三點多拋物線的解析式為y=x2-x-2;

          (3)存在.配方y(tǒng)=x2-x-2=(x-2-
          拋物線的對稱軸為x=,圓心O’應在對稱軸上.分兩種情況:
          ①當以線段EF為直徑的圓O′在x軸上方時,F(+r,+r)在拋物線y=x2-x-2上,
          +r=+r)2-+r)-2,
          整理得4r2-8r-45=0,
          解得r=或r=-(舍去)
          ∴半徑r=.圓心O′(,7);
          ②當以線段EF為直徑的圓O′在x軸下方時:F(+r,--r)在拋物線y=x2-x-2上,
          ∴--r=+r)2-+r)-2,
          整理得4r2+8r-5=0,
          解得r=或r=(舍去)
          ∴半徑r=,圓心O′().
          點評:本題考查了二次函數解析式的確定、圓與圓的位置關系、拋物線與圓的對稱性等知識,綜合性強,難度較大.
          練習冊系列答案
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