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        1. 【題目】已知如圖,O為坐標原點,四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),DOA中點,PBC上以每秒1個單位的速度由CB運動,設(shè)運動時間為t秒.

          (1)△ODP的面積S=________.

          (2)t為何值時,四邊形PODB是平行四邊形?

          (3)在線段PB上是否存在一點Q,使得ODQP為菱形?若存在,t的值,并求出Q點的坐標若不存在,請說明理由

          (4)若△OPD為等腰三角形,請寫出所有滿足條件的點P的坐標(請直接寫出答案,不必寫過程)

          【答案】(1)10;(2)5;(3)(8,4);(4)滿足條件的點P的坐標為P1(3,4),P2(2.5,4),P3(2,4),P4(8,4).

          【解析】

          試題(1)根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ODP的面積S;

          (2)由于PB∥OD,根據(jù)平行四邊形的判定可知當PB=OD=5時,四邊形PODB是平行四邊形,再求出PC=5,從而求出t的值;

          (3)根據(jù)菱形的判定,當OD=OP=PQ=5時,四邊形ODQP為菱形,在Rt△OPC中,利用勾股定理求出CP的值,進而求出t的值及Q點的坐標;

          (4)當△OPD為等腰三角形時,分三種情況進行討論:①如果O為頂點,那么OP=OD=5,②如果P為頂點,那么PO=PD,③如果D為頂點,那么DP=DO=5,分別做輔助線,利用勾股定理求出P點的坐標.

          試題解析:(1)∵O為坐標原點,A(10,0),四邊形OABC為矩形,C(0,4),

          ∴OA=BC=10,OC=4,

          點D是OA中點,

          ∴OD=DA= OA=5,

          ∴△ODP的面積S= ODOC= ×5×4=10.

          (2)解:∵PB∥OD,

          ∴當PB=OD時,四邊形PODB是平行四邊形,

          ∵OD=5,

          ∴PB=5,

          ∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5,

          ∵點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動,

          ∴t=5

          (3)解:當OD=OP=PQ=5時,ODQP為菱形,

          在Rt△OPC中,由勾股定理得:

          PC= = =3,

          ∴t=3,CQ=CP+PQ=3+5=8,

          ∴Q點的坐標為(8,4)

          (4)解:△OPD為等腰三角形時,分三種情況:

          ①如果O為頂點,那么OP=OD=5,

          由勾股定理可以求得PC=3,此時P1(3,4);

          ②如果P為頂點,那么PO=PD,

          作PE⊥OA于E,則OE=ED=2.5,此時P2(2.5,4);

          ③如果D為頂點,那么DP=DO=5,

          作DF⊥BC于F,由勾股定理,得PF=3,

          ∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8,此時P3(2,4),P4(8,4).

          綜上所述,滿足條件的點P的坐標為P1(3,4),P2(2.5,4),P3(2,4),P4(8,4).

          練習(xí)冊系列答案
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