Question

在平面直角坐標(biāo)中，Rt△OAB的兩頂點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)．其中點(diǎn)A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在線段OB上由點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（與端點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AP交AB于點(diǎn)D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若△AOE的面積為

3

2

，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求證：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)t=3時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)

AE

EP

的值．

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，
∵△AOE的面積為

3

2

，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，

EF

AO

=

OF

BO

，即

1

3

=

OF

4

，所以O(shè)F=

4

3

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，

4

3

）．

（2）證明：∵Rt△OAB中，OC為斜邊AB邊上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能頂角，即DP=DB，
當(dāng)△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AO于點(diǎn)F，則AF=OF=

3

2

；
∵△OEF∽△BAO，
∴

EF

AO

=

OF

BO

，即

EF

3

=

3 2

4

，所以EF=

9

8

，
∵△AFE∽△AOP，
∴

AF

AO

=

EF

PO

，即

3 2

3

=

9 8

t

，所以t=

9

4

，
∴當(dāng)△PBD是等腰三角形時(shí)，t=

9

4

；

（4）當(dāng)t=3時(shí)，

AE

EP

=

3

4

．