Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠EAC＝∠B，以DE為直徑的半圓交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M．

（1）判斷AF與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）只用無刻度的直尺畫出△ADE的邊DE上的高AH（不要求寫做法，保留作圖痕跡） ．

（3）若EF＝8，DF＝6，求DH的長．

Answer 1

【答案】（1）AF＝DF；（2）答案見試題解析；（3）．

【解析】

（1）AF=DF，理由是：求AE=DE，由等腰三角形的性質(zhì)求出即可；

（2）由銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)畫出即可；

（3）證△ADH∽△EDF，得出比例式，代入求出即可．

（1）AF=DF，理由如下：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE．即∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，∵DE是直徑，∴EF⊥AD，∴AF=DF；

（2）如圖：連接DM，DM交EF于G，作射線AG交DE于H，此時(shí)AH是高．

（3）在△EFD中，EF=8，DF=6，由勾股定理得，DE=AE=10，∵AH是DE邊上的高，∴∠AHD=90°，∵∠EFD=90°，∴∠AHD=∠EFD，∵∠ADH=∠EDF，∴△ADH∽△EDF，∴DH：DF=AD：DE，∴DH：6=12：10，解得DH=．