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        1. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,并與x軸交于另一點C(點C點A的右側(cè)),點P是拋物線上一動點.
          (1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);
          (2)若點P在第二象限內(nèi),過點P作PD⊥x軸于D,交AB于點E.當(dāng)點P運動到什么位置時,線段PE最長?此時PE等于多少?
          (3)如果平行于x軸的動直線l與拋物線交于點Q,與直線AB交于點N,點M為OA的中點,那么是否存在這樣的直線l,使得△MON是等腰三角形?若存在,請求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)首先求得A、B點的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式,并求出拋物線與x軸另一交點C的坐標(biāo);
          (2)關(guān)鍵是求出線段PE長度的表達式,設(shè)D點橫坐標(biāo)為t,則可以將PE表示為關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求極值的方法求出PE長度的最大值;
          (3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理,將直線l的存在性問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,通過一元二次方程的判別式可知直線l是否存在,并求出相應(yīng)Q點的坐標(biāo).注意“△MON是等腰三角形”,其中包含三種情況,需要逐一討論,不能漏解.
          解答:解:(1)∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,∴A(-4,0),B(0,4)
          拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,可得
          ,解得,
          ∴拋物線解析式為y=-x2-3x+4.
          令y=0,得-x2-3x+4=0,
          解得x1=-4,x2=1,∴C(1,0).

          (2)如答圖1所示,設(shè)D(t,0).
          ∵OA=OB,∴∠BAO=45°,
          ∴E(t,t+4),P(t,-t2-3t+4).
          PE=yP-yE=-t2-3t+4-t-4=-t2-4t=-(t+2)2+4,
          ∴當(dāng)t=-2時,線段PE的長度有最大值4,此時P(-2,6).

          (3)存在.
          如答圖2所示,過N點作NH⊥x軸于點H.
          設(shè)OH=m(m>0),∵OA=OB,∴∠BAO=45°,
          ∴NH=AH=4-m,∴yQ=4-m.
          又M為OA中點,∴MH=2-m.
          △MON為等腰三角形:
          ①若MN=ON,則H為底邊OM的中點,
          ∴m=1,∴yQ=4-m=3.
          由-xQ2-3xQ+4=3,解得xQ=,
          ∴點Q坐標(biāo)為(,3)或(,3);
          ②若MN=OM=2,則在Rt△MNH中,
          根據(jù)勾股定理得:MN2=NH2+MH2,即22=(4-m)2+(2-m)2,
          化簡得m2-6m+8=0,解得:m1=2,m2=4(不合題意,舍去)
          ∴yQ=2,由-xQ2-3xQ+4=2,解得xQ=
          ∴點Q坐標(biāo)為(,2)或(,2);
          ③若ON=OM=2,則在Rt△NOH中,
          根據(jù)勾股定理得:ON2=NH2+OH2,即22=(4-m)2+m2
          化簡得m2-4m+6=0,∵△=-8<0,
          ∴此時不存在這樣的直線l,使得△MON為等腰三角形.
          綜上所述,存在這樣的直線l,使得△MON為等腰三角形.
          所求Q點的坐標(biāo)為(,3)或(,3)或(,2)或(,2).
          點評:本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、一元二次方程的解法及判別式、等腰三角形以及勾股定理等方面知識,涉及考點較多,難度較大.第(3)問中,注意等腰三角形有三種情形,需要分類討論,避免因漏解而導(dǎo)致失分.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求點B的坐標(biāo);
          (2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
          BD
          AB
          =
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          ,求這時點P的坐標(biāo).

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          k
          x
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          (2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
          (3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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