Question

已知：反比例函數(shù)y=

m

x

(m＞0)的圖象在第一象限的分支上有n個點A₁（1，y₁），A₂（2，y₂），…，A_n（n，y_n），設直線A₁A₂的解析式為y=k₁x+b₁，A₂A₃的解析式為y=k₂x+b₂，…，A_nA_n+1的解析式為y=k_nx+b_n．
（1）當m=1時，k₁=

-

1

2

；
（2）當m=1時，k₁+k₂+k₃=

-

3

4

；
（3）①當m=2時，求k₁+k₂+k₃+…+k₂₀的值，并寫出求解過程．
     ②用m、n表示k₁+k₂+k₃+…+k_n的值（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）由反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

1

x

可確定點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，

1

2

），再把它們代入y=k₁x+b₁得到k₁+b₁=1①，2k₁x+b₁=

1

2

②，然后用②-①可求得k₁=

1

2

-1=-

1

2

；
（2）當m=1時，反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

，可確定點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，

1

2

），點A₃的坐標為（3，

1

3

），點A₄的坐標為（4，

1

4

），與（1）一樣得到k₂=

1

3

-

1

2

，k₃=

1

4

-

1

3

，易得到k₁+k₂+k₃的值；
（3）①當m=2時，反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

，先確定點A₁坐標為（1，2），點A₂坐標為（2，

2

2

），點A₃的坐標為（3，

2

3

），點A₄的坐標為（4，

2

4

），…，點A₂₀坐標為（20，

2

20

），點A₂₁坐標為（21，

2

21

），仿照（1）得到k₁=

2

2

-

2

1

，k₂=

2

3

-

2

2

，k₃=

2

4

-

2

3

，…，k₂₀=

2

21

-

2

20

，則k₁+k₂+k₃+…+k₂₀=

2

2

-

2

1

+

2

3

-

2

2

+

2

4

-

2

3

+…+

2

21

-

2

20

，然后進行加減運算即可；
②先得到點A₁坐標為（1，m），點A₂坐標為（2，

m

2

），點A₃的坐標為（3，

m

3

），點A₄的坐標為（4，

m

4

），…，點A_n坐標為（n，

m

n

），點A_n+1坐標為（n+1，

m

n+1

），再同樣可得到k₁=

m

2

-m，k₂=

m

3

-

m

2

，k₃=

m

4

-

m

3

，…，k_n=

m

n+1

-

m

n

，則k₁+k₂+k₃+…+k_n=

m

2

-m+

m

3

-

m

2

+

m

4

-

m

3

+…+

m

n+1

-

m

n

，然后進行分式的加減運算即可．

解答：解：（1）當m=1時，反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

，
∴點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，

1

2

），
把點A₁（1，1），點A₂（2，

1

2

）代入y=k₁x+b₁得
k₁+b₁=1①，
2k₁x+b₁=

1

2

②
∴②-①得k₁=

1

2

-1=-

1

2

；
故答案為-

1

2

；

（2）當m=1時，反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

，
點A₁的坐標為（1，1），點A₂的坐標為（2，

1

2

），點A₃的坐標為（3，

1

3

），點A₄的坐標為（4，

1

4

），
與（1）一樣，k₂=

1

3

-

1

2

，k₃=

1

4

-

1

3

，
∴k₁+k₂+k₃=

1

2

-1+

1

3

-

1

2

+

1

4

-

1

3

=-1+

1

4

=-

3

4

；
故答案為-

3

4

；

（3）①當m=2時，反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

，
∴點A₁坐標為（1，2），點A₂坐標為（2，

2

2

），點A₃的坐標為（3，

2

3

），點A₄的坐標為（4，

2

4

），…，點A₂₀坐標為（20，

2

20

），點A₂₁坐標為（21，

2

21

），
與（1）一樣，k₁=

2

2

-

2

1

，k₂=

2

3

-

2

2

，k₃=

2

4

-

2

3

，…，k₂₀=

2

21

-

2

20

，
∴k₁+k₂+k₃+…+k₂₀=

2

2

-

2

1

+

2

3

-

2

2

+

2

4

-

2

3

+…+

2

21

-

2

20

=-2+

2

21

=-

40

21

；
②點A₁坐標為（1，m），點A₂坐標為（2，

m

2

），點A₃的坐標為（3，

m

3

），點A₄的坐標為（4，

m

4

），…，點A_n坐標為（n，

m

n

），點A_n+1坐標為（n+1，

m

n+1

）．
與（1）一樣，k₁=

m

2

-m，k₂=

m

3

-

m

2

，k₃=

m

4

-

m

3

，…，k_n=

m

n+1

-

m

n

，
∴k₁+k₂+k₃+…+k_n=

m

2

-m+

m

3

-

m

2

+

m

4

-

m

3

+…+

m

n+1

-

m

n

=-m+

m

n+1

=-

mn

n+1

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，則點的坐標滿足其解析式；運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練掌握分數(shù)與分式的運算．