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        1. 如圖,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=3,AB=5,過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D.動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個單位的速度沿B-A-D方向向終點(diǎn)D運(yùn)動,另一動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A-C-B方向向終點(diǎn)B運(yùn)動,連接PQ.若P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),則另一點(diǎn)也立即停止運(yùn)動.設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒.
          (1)求線段AD的長;
          (2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時,求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍;
          (3)請?zhí)剿鳎涸谡麄運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻t,使得直線PQ與△ABC的一邊平行?若存在,請求出所有滿足條件t的值;若不存在,請說明理由;
          (4)當(dāng)t=______
          【答案】分析:(1)根據(jù)勾股定理求得BC=4;然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的對應(yīng)邊成比例知=,由此可以求得線段的長度;
          (2)作輔助線PM(過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M)構(gòu)建平行線PM∥BC,然后利用平行線截線段成比例知=,即PM=(5-3t),最后由三角形的面積公式即可列出△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)需要分類討論:當(dāng)PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB時,由平行線截線段成比例列出比例式,即可求得相應(yīng)的t值;
          (4)①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合、點(diǎn)Q在線段BC上時,點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上;②如圖5,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)Q在線段AC上時,點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上.
          解答:解:(1)∵∠ACB=90°,AC=3,AB=5,
          ∴BC=4(勾股定理);
          又∵AD⊥AB,
          ∴∠BAD=90°.
          ∵∠D+∠CAD=90°,∠CAD+∠BAC=90°,
          ∴∠D=∠BAC(等量代換),
          又∵∠ACD=∠BCA=90°,
          ∴△ADC∽△BAC,
          =(相似三角形的對應(yīng)邊成比例),即=,
          ∴AD=;

          (2)如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M.
          ∵∠ACB=90°,
          ∴BC⊥AC,
          ∴PM∥BC,
          =(平行線截線段成比例).
          ∵BC=4,AP=5-3t,AB=5,
          ∴PM=(5-3t),
          ∴S=AQ•PM=×2t×(5-3t)=-t2+4t(0≤t≤);

          (3)存在,有三種情況:
          如圖2,當(dāng)0≤t≤時,令PQ∥BC,得=,解得t=;
          如圖3,當(dāng)<t≤時,令PQ∥AC,得=,解得t=;
          如圖4,當(dāng)<t<時,令PQ∥AB,得=,解得,t=
          綜上所述,當(dāng)t=時,直線PQ與△ABC的一邊平行.

          (4)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合、點(diǎn)Q在線段BC上時,點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上,
          此時t===
          如圖5,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)Q在線段AC上時,點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上.
          過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M.則QC∥PM.
          ∵sin∠B==,即=,解得PM=;
          cos∠B==,即=,解得BM=
          ∵△ADC∽△BAC,
          =,即=,解得CD=,
          ∴DM=CD+BC-BM=-
          ∵QC∥PM,
          =(平行線分線段成比例),即=,解得t=
          則t=或 
          故答案是:或 
          點(diǎn)評:本題考查了相似綜合題:相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線截線段成比例等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用.
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          ( 。
          A、
          1
          2
          B、(
          2
          2
          7
          C、
          1
          4
          D、
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