Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個單位的速度沿B-A-D方向向終點(diǎn)D運(yùn)動，另一動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A-C-B方向向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接PQ．若P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一點(diǎn)也立即停止運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒．
（1）求線段AD的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍；
（3）請?zhí)剿鳎涸谡麄�運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使得直線PQ與△ABC的一邊平行？若存在，請求出所有滿足條件t的值；若不存在，請說明理由；
（4）當(dāng)t=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理求得BC=4；然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的對應(yīng)邊成比例知=，由此可以求得線段的長度；
（2）作輔助線PM（過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M）構(gòu)建平行線PM∥BC，然后利用平行線截線段成比例知=，即PM=（5-3t），最后由三角形的面積公式即可列出△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）需要分類討論：當(dāng)PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB時，由平行線截線段成比例列出比例式，即可求得相應(yīng)的t值；
（4）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合、點(diǎn)Q在線段BC上時，點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上；②如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段AC上時，點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代換），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴=（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），即=，
∴AD=；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴=（平行線截線段成比例）．
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=（5-3t），
∴S=AQ•PM=×2t×（5-3t）=-t²+4t（0≤t≤）；

（3）存在，有三種情況：
如圖2，當(dāng)0≤t≤時，令PQ∥BC，得=，解得t=；
如圖3，當(dāng)＜t≤時，令PQ∥AC，得=，解得t=；
如圖4，當(dāng)＜t＜時，令PQ∥AB，得=，解得，t=；
綜上所述，當(dāng)t=或或時，直線PQ與△ABC的一邊平行．

（4）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合、點(diǎn)Q在線段BC上時，點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上，
此時t===．
如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段AC上時，點(diǎn)P、Q、D恰好在同一條直線上．
過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M．則QC∥PM．
∵sin∠B==，即=，解得PM=；
cos∠B==，即=，解得BM=．
∵△ADC∽△BAC，
∴=，即=，解得CD=，
∴DM=CD+BC-BM=-．
∵QC∥PM，
∴=（平行線分線段成比例），即=，解得t=．
則t=或 ．
故答案是：或 ．
點(diǎn)評：本題考查了相似綜合題：相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線截線段成比例等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．