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        1. 【題目】如圖,已知O的半徑為4,CD為O的直徑,AC為O的弦,B為CD延長線上的一點,ABC=30°,且AB=AC。

          (1)求證:AB是O的切線;

          (2)求弦AC的長;

          (3)求圖中陰影部分的面積。

          【答案】(1)證明見解析;(2);(3).

          【解析】

          試題分析:(1)如圖,連接OA,欲證明AAB為O的切線,只需證明ABOA即可;

          (2)如圖,連接AD,構建直角ADC,利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半求得AD=4,然后利用勾股定理來求弦AC的長度;

          (3)根據(jù)圖示知,圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+AOC的面積.

          試題解析:(1)證明:如圖,連接OA.

          AB=AC,ABC=30°

          ∴∠ABC=ACB=30°

          ∴∠AOB=2ACB=60°,

          ABO中,BAO=180°-ABO-AOB=90°,即ABOA,

          OA是O的半徑,

          AB為O的切線;

          (2)解:如圖,連接AD.

          CD是O的直徑,

          ∴∠DAC=90°

          由(1)知,ACB=30°

          AD= CD=4,

          則根據(jù)勾股定理知AC=.

          即弦AC的長為.

          (3)由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=

          則S△ADC=ADAC=×4×=

          ∵點O是△ADC斜邊上的中點,

          ∴S△AOC=S△ADC=.

          根據(jù)圖示知,S陰影=S扇形ADO+S△AOC=,

          即圖中陰影部分的面積是

          考點: 1.切線的判定;2.扇形面積的計算.

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