Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）若P為線段BD上的一個動點，點P的橫坐標為m，試用含m的代數(shù)式表示點P的縱坐標；
（3）過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標；
（4）若點F是第一象限拋物線上的一個動點，過點F作FQ∥AC交x軸于點Q．當點F的坐標為

（2，3）

時，四邊形FQAC是平行四邊形；當點F的坐標為

（

11

4

，

15

16

）

時，四邊形FQAC是等腰梯形（直接寫出結果，不寫求解過程）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后化為頂點式求出D點坐標；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后將點P的橫坐標m代入，即可用含m的代數(shù)式表示點P的縱坐標；
（3）本問關鍵是求出四邊形PMAC面積的表達式，這個表達式是關于P點橫坐標的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)求極值的方法求出面積的最大值，并求出P點坐標；
（4）四邊形PQAC為平行四邊形或等腰梯形時，需要結合幾何圖形的性質求出P點坐標：
①當四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖1所示．構造全等三角形求出P點的縱坐標，再利用P點與C點關于對稱軸x=1對稱的特點，求出P點的橫坐標；
②當四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖2所示．利用等腰梯形、平行四邊形、全等三角形以及線段之間的三角函數(shù)關系，求出P點坐標．注意三角函數(shù)關系部分，也可以用相似三角形解決．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），
∴可設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3）
又∵拋物線 與y軸交于點C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3）
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
即拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4
∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）；

（2）設直線BD的解析式為：y=kx+b
由B（3，0），D（1，4）得

3k+b=0 k+b=4

解得

k=-2 b=6

．
∴直線BD的解析式為y=-2x+6，
∵點P在直線PD上，點P的橫坐標為m
∴點P的縱坐標為：-2m+6；

（3）由（1），（2）知：
OA=1，OC=3，OM=m，PM=-2m+6，
∴S_{四邊形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2m+6)×m
=-m2+

9

2

m+

3

2

=-(m-

9

4

)2+

105

16

，
∵1＜

9

4

＜3，
∴當m=

9

4

時，四邊形PMAC的面積取得最大值為

105

16

，
此時點P的坐標為（

9

4

，

3

2

）；
                 
（4）①四邊形PQAC是平行四邊形，如右圖①所示．
過點P作PE⊥x軸于點E，易證△AOC≌△QEP，
∴y_P=PE=CO=3．
又∵CP∥x軸，
則點C（0，3）與點P關于對稱軸x=1對稱，
∴x_P=2．
∴P（2，3）．
②四邊形PQAC是等腰梯形，如右圖②所示．
設P（m，n），P點在拋物線上，則有n=-m²+2m+3．
過P點作PE⊥x軸于點E，則PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，
∴AC=

10

，tan∠CAO=3，cos∠CAO=

10

10

；
∵PQ∥CA，
∴tan∠PQE=

PE

QE

=tan∠CAO=3，
∴QE=

1

3

n，PQ=

QE2+PE2

=

10

3

n．
過點Q作QM∥PC，交AC于點M，則四邊形PCMQ為平行四邊形，△QAM為等腰三角形．再過點Q作QN⊥AC于點N．
則有：CM=PQ=

10

3

n，AN=

1

2

AM=

1

2

（AC-CM）=

10

2

（1-

1

3

n），
AQ=

AN

cos∠CAO

=

10 2 (1- 1 3 n)

10 10

=5（1-

1

3

n）．
又∵AQ=AO+OQ=1+（m-

1

3

n），
∴5（1-

1

3

n）=1+（m-

1

3

n），化簡得：n=3-

3

4

m；
又∵P點在拋物線上，有n=-m²+2m+3，
∴-m²+2m+3=3-

3

4

m，化簡得：m²-

11

4

m=0，
解得m₁=0（舍去），m₂=

11

4

，
∴m=

11

4

，n=3-

3

4

m=

15

16

，
∴P（

11

4

，

15

16

）．
故答案為：（2，3）；（

11

4

，

15

16

）．

點評：本題綜合考查了諸多重要的知識點，包括：二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的極值、圖形面積的求法、等腰梯形、平行四邊形、等腰三角形、三角函數(shù)（或相似三角形）等，涉及考點眾多，有一定的難度．本題難點在于第（4）問等腰梯形的情形，注意該種情形下求點的坐標的方法．