Question

如圖1，已知：點(diǎn)A（-1，1）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后剛好落在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上點(diǎn)B處．
（1）求反比函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，直線OB與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)C，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使△DBC是等腰三角形？若不存在，請說明不存在的理由；如果存在，請求所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖3，直線y=-x+

2

與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)P為反比例函數(shù)在第一象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，PG⊥x軸于G，交線段EF于M，PH⊥y軸于H，交線段EF于N．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MON的度數(shù)是否改變？如果改變，試說明理由；如果不變，請求其度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由A點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與點(diǎn)B重合，根據(jù)A的坐標(biāo)得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，將B的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）在x軸上存在點(diǎn)D，使△DBC是等腰三角形，理由為：分兩種情況考慮，（i）以C為圓心，CB長為半徑畫弧于x軸交于兩點(diǎn)，分別為D₁和D₂的位置，如圖所示，過C作CM垂直于x軸于點(diǎn)M，由B的坐標(biāo)得到C的坐標(biāo)，確定出CM與CD₁的長，在直角三角形CMD₁中，利用勾股定理求出MD₁的長，由MD₁+OM求出OD₁的長，確定出D₁的坐標(biāo)，同理求出D₂的坐標(biāo)；（ii）以B為圓心，BC長為半徑畫弧于x軸交于兩點(diǎn)，分別為D₃與D₄的位置，過B作BN垂直于x軸于點(diǎn)N，在直角三角形BND₃中，利用勾股定理求出ND₃的長，由ND₃-ON求出OD₃的長，確定出D₃的坐標(biāo)，同理確定出D₄的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MON的度數(shù)不變，為45°，理由為：由P在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)P的坐標(biāo)為（a，

1

a

），進(jìn)而確定出PG與OG的長，由一次函數(shù)的解析式求出E和F的坐標(biāo)，確定出OE與OF的長，利用勾股定理求出EF的長，且得到三角形OEF為等腰直角三角形，可得出兩個(gè)角為45°，進(jìn)而得到三角形MEG與三角形FHN都為等腰直角三角形，用OE-OG表示出GE，進(jìn)而表示出ME，用EF-ME表示出FM，同理表示出NE，求出FM與NE的乘積，發(fā)現(xiàn)與OE與OF的乘積相等，將積的恒等式化為比例式，再由夾角相等，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形FOM與三角形EON相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出∠FMO=∠EON，而∠FMO為三角形MOE的外角，利用外角性質(zhì)得到兩個(gè)角相加，又∠EON等于兩個(gè)角相加，利用等式的性質(zhì)得到∠MON=∠MEO相等，由∠MEO為45° 可得出∠MON為45°．

解答：解：（1）由點(diǎn)A（-1，1）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后剛好落在反比例函數(shù)的B點(diǎn)，
得到B（1，1），
將x=1，y=1代入y=

k

x

中得：k=1，
則反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

；

（2）在x軸上存在點(diǎn)D，使△DBC是等腰三角形，理由為：
分兩種情況考慮：
當(dāng)C為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時(shí)，以C為圓心，CB長為半徑畫弧，與x軸交于D₁，D₂，如圖所示，

過C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵B（1，1），即ON=BN=1，且C（-1，-1），即CM=OM=1，
∴OB=OC=

2

，
∴BC=OB+OC=2

2

，即CD₁=CD₂=BC=2

2

，
在Rt△CMD₁中，根據(jù)勾股定理得：CD₁²=CM²+MD₁²，
∴（2

2

）²=1²+MD₁²，即MD₁=

7

，
∴OD₁=MD₁+OM=

7

+1，又D₁在x軸負(fù)半軸上，
∴D₁（-

7

-1，0），
同理D₂（

7

-1，0）；
當(dāng)B為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時(shí)，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，與x軸交于D₃，D₄，如圖所示，
過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，同理可得BD₃=BD₄=BC=2

2

，
在Rt△BND₃中，根據(jù)勾股定理得：BD₃²=BN²+ND₃²，
∴（2

2

）²=1²+ND₃²，即ND₃=

7

，
∴OD₃=ND₃-ON=

7

-1，又D₁在x軸負(fù)半軸上，
∴D₃（-

7

+1，0），
同理D₄（

7

+1，0），
綜上，所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

7

-1，0）或（

7

-1，0）或（-

7

+1，0）或（

7

+1，0）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MON的度數(shù)不變，為45°，理由為：
設(shè)P坐標(biāo)為（a，

1

a

），
∵OE=OF=

2

，
∴EF=2，∠OBA=∠OAB=45°，
∴ME=

2

GE=

2

（

2

-a），F(xiàn)N=

2

FH=

2

（

2

-

1

a

），
∴FM=EF-ME=

2

a，EN=EF-FN=

2

a

，
∴FM•EN=

2

a•

2

a

=2=OE•OF，
∴

FM

OE

=

OF

EN

，
又∵∠OFM=∠NEO=45°，
∴△FMO∽△EON，
∴∠FMO=∠EON，
∴∠MEO+∠MOE=∠MON+∠MOE，
則∠MON=∠MEO=45°．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．