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        1. 如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,作∠ABC的平分線交AC、CD于點(diǎn)E、F.
          (1)求證:CE=CF;
          (2)如圖2,過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交AC于點(diǎn)G,若AC=10,EG=4,求CE的長(zhǎng)度.
          分析:(1)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可知∠CBE+∠BEC=90°,∠BFD+∠DBF=90°,再根據(jù)角平分線的定義可知∠CBE=∠DBF,從而求出∠BFD=∠BEC,又對(duì)頂角相等,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=CF;
          (2)過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得FD=NF,然后證明四邊形GFDM是矩形,根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得GM=DF,然后利用角角邊證明△AGM與△CFN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=AG,從而可得AG=CE,然后利用AC=CE+EG+AG代入數(shù)據(jù)求解即可.
          解答:(1)證明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
          ∴∠CBE+∠BEC=90°,∠BFD+∠DBF=90°,
          ∵BE是∠ABC的平分線,
          ∴∠CBE=∠DBF,
          ∴∠BFD=∠BEC,
          又∵∠BFD=∠CFE(對(duì)頂角相等),
          ∴∠BEC=∠CFE,
          ∴CE=CF;

          (2)解:如圖,過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N,
          則∠CNF=∠AMG=90°,
          ∵BE是∠ABC的平分線,CD⊥AB,
          ∴FD=NF,
          又∵FG∥AB,
          ∴四邊形GFDM是矩形,
          ∴GM=DF,
          ∴GM=NF,
          ∵∠A+∠ABC=90°,∠BCD+∠ABC=90°,
          ∴∠A=∠BCD,
          在△AGM與△CFN中,
          ∠A=∠BCD
          ∠CNF=∠AMG=90°
          GM=DF

          ∴△AGM≌△CFN(AAS),
          ∴CF=AG,
          根據(jù)(1)可知CE=CF,
          ∴CE=AG,
          ∵AC=10,EG=4,
          ∴CE+EG+AG=2CE+4=10,
          解得CE=3.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),(2)中作輔助線構(gòu)造出全等三角形求出CE=AG是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=4
          2
          ,另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底邊DE與BC重合,兩腰分別落在AB,AC上,且G,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn).
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          (1)求等腰梯形DEFG的面積;
          (2)操作:固定△ABC,將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng),直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF′G′(如圖2).
          探究1:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,四邊形BDG′G能否是菱形?若能,請(qǐng)求出此時(shí)x的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
          探究2:設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng),DE平分∠CDB交邊BC于點(diǎn)E,EM⊥BD垂足為M,EN⊥CD垂足為N.
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          (1)當(dāng)AD=CD時(shí),求證:DE∥AC;
          (2)探究:AD為何值時(shí),△BME與△CNE相似?
          (3)探究:AD為何值時(shí),四邊形MEND與△BDE的面積相等?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=
          1
          4
          x2-6
          與直線y=
          1
          2
          x
          相交于A,B兩點(diǎn).
          (1)求線段AB的長(zhǎng);
          (2)若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)等于(1)中線段AB的長(zhǎng),當(dāng)扇形的半徑取何值時(shí),扇形的面積最大,最大面積是多少;
          (3)如圖2,線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C,D兩點(diǎn),垂足為點(diǎn)M,分別求出OM,OC,OD的長(zhǎng),并驗(yàn)證等式
          1
          OC2
          +
          1
          OD2
          =
          1
          OM2
          是否成立;
          (4)如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.CD=b,試說(shuō)明:
          1
          a2
          +
          1
          b2
          =
          1
          h2

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分別以AB、AC為底邊向△ABC的外側(cè)作等腰△ABD和ACE,且AD⊥AC,AB⊥AE,DE和AB相交于F.試探究線段FD、FE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
          說(shuō)明:如果你經(jīng)歷反復(fù)探索,沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法,可以從圖2、3中選取一個(gè),并分別補(bǔ)充條件∠CAB=45°、∠CAB=30°后,再完成你的證明.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖1,在Rt△ABC中,AB=AC=3,BD為AC邊的中線,AB1⊥BD交BC于B1,B1A1⊥AC于A1精英家教網(wǎng)
          (1)求AA1的長(zhǎng);
          (2)如圖2,在Rt△A1B1C中按上述操作,則AA2的長(zhǎng)為
           
          ;
          (3)在Rt△A2B2C中按上述操作,則AA3的長(zhǎng)為
           
          ;
          (4)一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C,則AAn的長(zhǎng)為
           

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