Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，作∠ABC的平分線交AC、CD于點E、F．
（1）求證：CE=CF；
（2）如圖2，過點F作FG∥AB交AC于點G，若AC=10，EG=4，求CE的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可知∠CBE+∠BEC=90°，∠BFD+∠DBF=90°，再根據(jù)角平分線的定義可知∠CBE=∠DBF，從而求出∠BFD=∠BEC，又對頂角相等，然后根據(jù)等角對等邊可得CE=CF；
（2）過點G作GM⊥AD于點M，過點F作FN⊥BC于點N，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得FD=NF，然后證明四邊形GFDM是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得GM=DF，然后利用角角邊證明△AGM與△CFN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=AG，從而可得AG=CE，然后利用AC=CE+EG+AG代入數(shù)據(jù)求解即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CBE+∠BEC=90°，∠BFD+∠DBF=90°，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠CBE=∠DBF，
∴∠BFD=∠BEC，
又∵∠BFD=∠CFE（對頂角相等），
∴∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）解：如圖，過點G作GM⊥AD于點M，過點F作FN⊥BC于點N，
則∠CNF=∠AMG=90°，
∵BE是∠ABC的平分線，CD⊥AB，
∴FD=NF，
又∵FG∥AB，
∴四邊形GFDM是矩形，
∴GM=DF，
∴GM=NF，
∵∠A+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCD，
在△AGM與△CFN中，

∠A=∠BCD ∠CNF=∠AMG=90° GM=DF

，
∴△AGM≌△CFN（AAS），
∴CF=AG，
根據(jù)（1）可知CE=CF，
∴CE=AG，
∵AC=10，EG=4，
∴CE+EG+AG=2CE+4=10，
解得CE=3．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）中作輔助線構(gòu)造出全等三角形求出CE=AG是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．