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        1. 如圖,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,動點E(與點A、C不重合)在AC邊上,EF∥AB交BC于點F.

          【小題1】當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時,求CE的長
          【小題2】當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時,求CE的長
          【小題3】試問在AB上是否存在點P,使得△EFP為等腰直角三角形?若不存在,請簡要說明理由;若存在,請求出EF的長.

          【小題1】CE=2
          【小題2】
          【小題3】在AB上存在點P.使△EFP為等腰直角三角形,此時EF=或EF=解析:
          解:(1)∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等,
          ∴S△ECF:S△ACB=1:2,
          又∵EF∥AB,∴△ECF∽△ACB,
          ,且AC=4,
          ∴CE=2;
          (2)設CE的長為x,
          ∵△ECF∽△ACB,
          ,∴CF=x,
          由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等,得:
          x+EF+x=(4-x)+5+(3-x)+EF
          解得x=,∴CE的長為
          (3)△EFP為等腰直角三角形,有兩種情況:
          ①如圖1,假設∠PEF=90°,EP=EF
          由AB=5,BC=3,AC=4,得∠C=90°
          ∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=,設EP=EF=x,由△ECF∽△ACB,得:


          解得x=,即EF=
          當∠EFP´=90°,EF=FP′時,同理可得EF=;
          ②如圖2,假設∠EPF=90°,PE=PF時,點P到EF的距離為EF
          設EF=x,由△ECF∽△ACB,得:

          解得x= ,即EF= 
          綜上所述,在AB上存在點P,使△EFP為等腰直角三角形,此時EF=或EF=
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          A、
          1
          2
          B、(
          2
          2
          7
          C、
          1
          4
          D、
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          16
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