Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為48cm，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB﹣BD做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，沿著線路DC﹣CB﹣BA做勻速運(yùn)動(dòng)．

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為8cm/s、10cm/s．經(jīng)過(guò)12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，試判斷△AMN的形狀，并說(shuō)明理由，同時(shí)求出△AMN的面積；

（3）設(shè)問(wèn)題（2）中的動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，動(dòng)點(diǎn)P的速度不變，動(dòng)點(diǎn)Q的速度改變?yōu)閍 cm/s，經(jīng)過(guò)3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF為直角三角形，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）48cm；（2）288（cm2）；（3）若△BEF為直角三角形，a的值為4或12或24．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC=CD=AD=48，加上∠A=60°，于是可判斷△ABD是等邊三角形，所以BD=AB=48；

（2）如圖1，根據(jù)速度公式得到12秒后點(diǎn)P走過(guò)的路程為96cm，則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D，即點(diǎn)M與D點(diǎn)重合，12秒后點(diǎn)Q走過(guò)的路程為120cm，而BC+CD=96，易得點(diǎn)Q到達(dá)AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得MN⊥AB，即△AMN為直角三角形，然后根據(jù)等邊三角形面積可計(jì)算出S△AMN=288cm2；

（3）由△ABD為等邊三角形得∠ABD=60°，根據(jù)速度公式得經(jīng)過(guò)3秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為24cm、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為3acm，所以BE=DE=24cm，

然后分類討論：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在NB上，如圖1，則NF=3a，BF=BN﹣NF=24﹣3a，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，只能得到∠EFB=90°，所以∠FEB=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得24﹣3a=×24，解得a=4；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在BC上，如圖2，則NF=3a，BF=BN﹣NF=3a﹣24，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得3a﹣24=×24，解得a=12；若∠EFB=90°，易得此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)C處，則3a=24+48，解得a=24．

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=48，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AB=48，

即BD的長(zhǎng)是48cm；

（2）如圖1，12秒后點(diǎn)P走過(guò)的路程為8×12=96，則12秒后點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D，即點(diǎn)M與D點(diǎn)重合，

12秒后點(diǎn)Q走過(guò)的路程為10×12=120，而BC+CD=96，所以點(diǎn)Q到B點(diǎn)的距離為120﹣96=24，則點(diǎn)Q到達(dá)AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，

∵△ABD是等邊三角形，而MN為中線，

∴MN⊥AB，

∴△AMN為直角三角形，

∴S△AMN=S△ABD=××482=288（cm2）；

（3）∵△ABD為等邊三角形，

∴∠ABD=60°，

經(jīng)過(guò)3秒后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為24cm、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為3acm，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)M開始運(yùn)動(dòng)，即DE=24cm，

∴點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)，即BE=DE=24cm，

當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在NB上，如圖1，則NF=3a，

∴BF=BN﹣NF=24﹣3a，

∵△BEF為直角三角形，

而∠FBE=60°，

∴∠EFB=90°（∠FEB不能為90°，否則點(diǎn)F在點(diǎn)A的位置），

∴∠FEB=30°，

∴BF=BE，

∴24﹣3a=×24，

∴a=4；

當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在BC上，如圖2，則NF=3a，

∴BF=BN﹣NF=3a﹣24，

∵△BEF為直角三角形，

而∠FBE=60°，

若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，

∴BF=BE，

∴3a﹣24=×24，

∴a=12；

若∠EFB=90°，即FB⊥BD，

而DE=BE，

∴點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，

∴此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)C處，

∴3a=24+48，

∴a=24，

綜上所述，若△BEF為直角三角形，a的值為4或12或24．