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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣x+1與y軸交于點D.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)證明:△DBO∽△EBC;

          (3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的P點坐標,若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)y=x22x3;(2)詳見解析;(3)符合條件的P點坐標為P(1,1)或P(1,)或P(1,)或P(1,3+)或P(1,3).

          【解析】

          試題分析:(1)先求出點C的坐標,在由BO=OC=3AO,確定出點B,A的坐標,最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出點A,B,C,D,E的坐標,從而求出BC=3,BE=2,CE=,OD=1,OB=3,BD=,求出比值,得到得出結論;(3)設出點P的坐標,表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計算即可.

          試題解析:(1)拋物線y=ax2+bx3,

          c=3,

          C(0,3),

          OC=3,

          BO=OC=3AO,

          BO=3,AO=1,

          B(3,0),A(1,0),

          該拋物線與x軸交于A、B兩點,

          ,

          拋物線解析式為y=x22x3,

          (2)由(1)知,拋物線解析式為y=x22x3=(x1)24,

          E(1,4),

          B(3,0),A(1,0),C(0,3),

          BC=3,BE=2,CE=

          直線y=x+1與y軸交于點D,

          D(0,1),

          B(3,0),

          OD=1,OB=3,BD=,

          ,

          ,

          ∴△BCE∽△BDO,

          (3)存在,

          理由:設P(1,m),

          B(3,0),C(0,3),

          BC=3,PB=,PC=,

          ∵△PBC是等腰三角形,

          當PB=PC時,

          =

          m=1,

          P(1,1),

          當PB=BC時,

          3=

          m=±,

          P(1,)或P(1,),

          當PC=BC時,

          3=,

          m=3±,

          P(1,3+)或P(1,3),

          符合條件的P點坐標為P(1,1)或P(1,)或P(1,)或P(1,3+)或P(1,3).

          考點:二次函數(shù)的綜合題.

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          x

          1

          0

          1

          3

          y

          1

          3

          5

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