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        1. 【題目】如圖,動點在以為圓心,為直徑的半圓弧上運動(點不與點的中點重合),連接.過點于點,以為邊在半圓同側作正方形,過點作的切線交射線于點,連接、.

          (1)探究:如左圖,當動點在上運動時;

          判斷是否成立?請說明理由;

          ,是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由;

          是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由;

          (2)拓展:如右圖,當動點上運動時;

          分別判斷(1)中的三個結論是否保持不變?如有變化,請直接寫出正確的結論.(均不必說明理由)

          【答案】(1)成立,理由見解析;為定值1;為定值45°;(2)不發(fā)生變化.

          【解析】

          試題分析:(1) ①∠MEO=MDN=90°,MOE=DMN,證明OEM∽△MDN;過點B作BGMN, 證明BME≌△BMG, 得BM=MG,再證明BNG≌△BCN,GN=CN,從而得k=1;OBM=MBG得BM=MG, BNG≌△BCN,GBN=CBN,,即可得為定值45°;(2)和(1)的思路相同,不發(fā)生變化.

          試題解析:

          (1)成立,理由如下:

          過點M作MEAB于點E,以BE為邊在半圓同側作正方形BCDE,

          ∴∠MEO=MDN=90°

          ∴∠MOE+EMO=90°

          過M點的切線交射線DC于點N,

          ∴∠OMN=90°,

          ∴∠DMN+EMO=90°

          ∴∠MOE=DMN

          ∴△OEM∽△MDN

          k是定值1,理由如下:

          過點B作BGMN,

          過M點的的切線交射線DC于點N,

          ∴∠OMN=90°,

          BGMN,

          ∴∠BGM=90°

          ∴∠OMN=BGM=90°,

          OMBG

          ∴∠OMB=MBG,

          OM=OB

          ∴∠OMB=OBM,

          ∴∠OBM=MBG,

          BME≌△BMG,

          BM=MG,BG=BE,

          正方形BCDE,

          BG=BC

          BNG≌△BCN,

          GN=CN

          MN=MG+NG=ME+CN

          為定值45°,理由如下:

          知:OBM=MBG, BNG≌△BCN,

          ∴∠GBN=CBN,

          正方形BCDE,

          ∴∠EBC=90°

          ∴∠MBN=

          (2)不發(fā)生變化.

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