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        1. 【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)OAC上,OA=2,OA為半徑的⊙OAB于點(diǎn)D,ACG,BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.

          (1)求證:直線DE⊙O的切線;

          (2)求線段DE的長(zhǎng);

          (3)求線段AD的長(zhǎng).

          【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)DE=4.75(3)2.4

          【解析】試題分析:(1)連接OD,欲證DE是切線,只要證明OD⊥DE即可;

          (2)連接OE,設(shè)DE=BE=x,CE=8﹣x,利用勾股定理求解即可;

          (3)連結(jié)BG,DG,根據(jù)三角形的面積的不同求法,然后根據(jù)勾股定理求解.

          試題解析:(1)連接OD,

          EF垂直平分BD,∴EB=ED,

          ∴∠B=∠EDB,

          ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A,

          ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,

          ∴∠EDB+∠ODA=90°,∴∠ODE=90°,

          ∴OD⊥DE于D,∴DE是O的切線.

          (2)連接OE,

          設(shè)DE=BE=x,CE=8﹣x,

          ∵OE2=DE2+OD2=EC2+OC2

          ∴42+(8﹣x)2=22+x2,

          解得x=4.75,

          ∴DE=4.75.

          (3)連結(jié)BG,DG.

          ∵AG是直徑,∴GD⊥AB

          由S△ABG=AG·BC=AB·GD可得:4×8=10×GD,

          ∴GD=3.2

          AD==2.4

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