Question

【題目】已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．

（1）求證：PM＝PN；

（2）聯(lián)結(jié)MN，求證：PD是MN的垂直平分線．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可得到答案；

（2）利用“HL”證明Rt△PDM≌Rt△PDN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DM＝DN，然后根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可得到結(jié)論；

解：(1) ∵BD為∠ABC的平分線，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

,

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM＝PN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；

（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，

，

∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），

∴DM＝DN，

∴D在MN的垂直平分線上，

∵PM＝PN，

∴P在MN的垂直平分線上，

∴PD是MN的垂直平分線．