Question

【題目】P是△ABC的內(nèi)心，BC=4，∠BAC=90°,則△PBC的外接圓半徑為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作如下所示圖，先求出∠BPC的度數(shù)，再利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出∠BQC的度數(shù)，再由圓周角定理求出∠BOC度數(shù)，進(jìn)而得到△BOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求解.

解：作如下所示圖，P為△ABC的內(nèi)心，圓O為△PBC的外接圓，∠BAC=90°

由內(nèi)心的定義可知，BP、CP、AP分別是∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分線，

∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)

=180°-(∠ABC+∠ACB)

=180°-(180°-∠BAC)=180°-×90°=135°.

由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)知：∠BQC+∠BPC=180°

∴∠BQC=180°-∠BPC=45°

由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半知：

∠BOC=2∠BQC=90°

且BO=CO，

∴△BOC為等腰直角三角形，

由BC=4可知，BO=.

故答案為：.