Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線(xiàn)BC上，且PB＝PE，連接PD，O為AC中點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說(shuō)明理由；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上時(shí)，(1)中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)，并判斷(1)中的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE＝PD，PE⊥PD；(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)成立，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上時(shí)，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝PD；

（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別分析即可得出；

（3）利用PE＝PB得出P點(diǎn)在BE的垂直平分線(xiàn)上，利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)只要以P為圓心，PB為半徑畫(huà)弧即可得出E點(diǎn)位置，利用（2）中證明思路即可得出答案．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上時(shí)，

在△ABP和△ADP中，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP＝DP，

∵PB＝PE，

∴PE＝PD，

過(guò)點(diǎn)P做PM⊥CD于點(diǎn)M，作PN⊥BC，于點(diǎn)N，

∵PB＝PE，PN⊥BE，

∴BN＝NE，

∵BN＝DM，

∴DM＝NE，

在Rt△PNE與Rt△PMD中，

∵PD＝PE，NE＝DM，

∴Rt△PNE≌Rt△PMD，

∴∠DPM＝∠EPN，

∵∠MPN＝90°，

∴∠DPE＝90°，

故PE⊥PD，

PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE＝PD，PE⊥PD；

(2)∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線(xiàn)，

∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，

∵PA＝PA，

∴△BAP≌△DAP(SAS)，

∴PB＝PD，

又∵PB＝PE，

∴PE＝PD．

(i)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PE⊥PD．

(ii)當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖．

∵△ADP≌△ABP，

∴∠ABP＝∠ADP，

∴∠CDP＝∠CBP，

∵BP＝PE，

∴∠CBP＝∠PEC，

∴∠PEC＝∠PDC，

∵∠1＝∠2，

∴∠DPE＝∠DCE＝90°，

∴PE⊥PD．

綜合(i)(ii)，PE⊥PD；

(3)同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．