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        1. 【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.

          (1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);
          (2)將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
          (3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置,此時(shí)A,B,M三點(diǎn)在同一直線上.(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.

          【答案】
          (1)

          證明:如圖1,

          ∵EN∥AD,

          ∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.

          ∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),

          ∴DM=EM.

          在△ADM和△NEM中,

          ∴△ADM≌△NEM.

          ∴AM=MN.

          ∴M為AN的中點(diǎn);


          (2)

          證明:如圖2,

          ∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,

          ∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.

          ∵AD∥NE,

          ∴∠DAE+∠NEA=180°.

          ∵∠DAE=90°,

          ∴∠NEA=90°.

          ∴∠NEC=135°.

          ∵A,B,E三點(diǎn)在同一直線上,

          ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.

          ∴∠ABC=∠NEC.

          ∵△ADM≌△NEM(已證),

          ∴AD=NE.

          ∵AD=AB,

          ∴AB=NE.

          在△ABC和△NEC中,

          ∴△ABC≌△NEC.

          ∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.

          ∴∠ACN=∠BCE=90°.

          ∴△ACN為等腰直角三角形;


          (3)

          解:△ACN仍為等腰直角三角形.

          證明:

          ∵AD∥NE,M為中點(diǎn),

          ∴易得△ADM≌△NEM,

          ∴AD=NE.

          ∵AD=AB,

          ∴AB=NE.

          ∵AD∥NE,

          ∴AF⊥NE,

          在四邊形BCEF中,

          ∵∠BCE=∠BFE=90°

          ∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

          ∵∠FBC+∠ABC=180°

          ∴∠ABC=∠FEC

          在△ABC和△NEC中,

          ,

          ∴△ABC≌△NEC.

          ∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.

          ∴∠ACN=∠BCE=90°.

          ∴△ACN為等腰直角三角形.


          【解析】(1)由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證得△ADM≌△NEM,從而證得M為AN的中點(diǎn).(2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證得△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證得AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.(3)延長AB交NE于點(diǎn)F,易得△ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證得△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證得AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知相交直線AB和CD及另一直線MN,如果要在MN上找出與AB,CD距離相等的點(diǎn),則這樣的點(diǎn)至少有_____個(gè),最多有_____個(gè).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】
          (1)如圖1,△ABC為等邊三角形,現(xiàn)將三角板中的60°角與∠ACB重合,再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°),旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB上取點(diǎn)E,使∠DCE=30°,連接AF,EF.

          ①求∠EAF的度數(shù);
          ②DE與EF相等嗎?請說明理由;
          (2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,先將三角板的90°角與∠ACB重合,再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°),旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB上取點(diǎn)E,使∠DCE=45°,連接AF,EF,請直接寫出探究結(jié)果:
          ①求∠EAF的度數(shù);
          ②線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下面四個(gè)結(jié)論:①OA=OD;②AD⊥EF;③當(dāng)∠BAC=90°時(shí),四邊形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2 . 其中正確的是(
          A.②③
          B.②④
          C.②③④
          D.①③④

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】一牧童在 A 處牧馬,牧童的家在 B 處,A,B 處距河岸的距離分別是 AC=500 m,BD=700 m, C,D 兩地間的距離也為 500 m,天黑前牧童從點(diǎn) A 將馬牽到河邊 去飲水,再趕回家,為了使所走的路程最短.

          (1)牧童應(yīng)將馬趕到河邊的什么地點(diǎn)?請你在圖中畫出來.

          (2)問:他至少要走多少路?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為了解中考體育科目訓(xùn)練情況,某縣從全縣九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了一次中考體育科目測試(把測試結(jié)果分為四個(gè)等級:A級:優(yōu)秀;B級:良好;C級:及格;D級:不及格),并將測試結(jié)果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題:
          (1)本次抽樣測試的學(xué)生人數(shù)是;
          (2)圖1中∠α的度數(shù)是 , 并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整
          (3)該縣九年級有學(xué)生3500名,如果全部參加這次中考體育科目測試,請估計(jì)不及格的人數(shù)為
          (4)測試?yán)蠋熛霃?位同學(xué)(分別記為E、F、G、H,其中E為小明)中隨機(jī)選擇兩位同學(xué)了解平時(shí)訓(xùn)練情況,請用列表或畫樹形圖的方法求出選中小明的概率.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′C,連接AA′,若∠1=20°,則∠B的度數(shù)是(
          A.70°
          B.65°
          C.60°
          D.55°

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+2xa+c經(jīng)過A(﹣4,0),B(0,4)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)C,直線y=x+5與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E.

          (1)求拋物線的解析式;
          (2)點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EP,過點(diǎn)E作EP的垂線l,在l上截取線段EF,使EF=EP,且點(diǎn)F在第一象限,過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段FM的長度為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
          (3)在(2)的條件下,過點(diǎn)E作EH⊥ED交MF的延長線于點(diǎn)H,連接DH,點(diǎn)G為DH的中點(diǎn),當(dāng)直線PG經(jīng)過AC的中點(diǎn)Q時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)

          (1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C1;
          (2)分別連結(jié)AB1、BA1后,求四邊形AB1A1B的面積.

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          同步練習(xí)冊答案