Question

【題目】如圖，已知：AB為⊙O直徑，PQ與⊙O交于點C，AD⊥PQ于點D，且AC為∠DAB的平分線，BE⊥PQ于點E．

（1）求證：PQ與⊙O相切；

（2）求證：點C是DE的中點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）連接OC，由角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠ACO，可得AD∥OC，由平行線的性質(zhì)可得OC⊥PQ，可得結(jié)論；

（2）由平行線分線段成比例可得DC＝CE，即點C是DE的中點．

證明：（1）連接OC，

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA

∴∠DAC＝∠ACO

∴AD∥OC，且AD⊥PQ

∴OC⊥PQ，且OC為半徑

∴PQ與⊙O相切

（2）∵OC⊥PQ，AD⊥PQ，BE⊥PQ

∴OC∥AD∥BE

∴

∴DC＝CE

∴點C是DE的中點．