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        1. 【題目】如圖,△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).

          (1)求證:BD=CE;
          (2)若AB=2,AD=1,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),
          ①當(dāng)∠EAC=90°時(shí),求PB的長(zhǎng);
          ②直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最小值與最大值.

          【答案】
          (1)

          證明:如圖1中,

          ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,

          ∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE,

          在△ADB和△AEC中,

          ∴△ADB≌△AEC,

          ∴BD=CE


          (2)

          解:①a、如圖2中,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),BE=AB﹣AE=1.

          ∵∠EAC=90°,

          ∴CE= = ,

          同(1)可證△ADB≌△AEC.

          ∴∠DBA=∠ECA.

          ∵∠PEB=∠AEC,

          ∴△PEB∽△AEC.

          = ,

          = ,

          ∴PB=

          b、如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BE=3.

          ∵∠EAC=90°,

          ∴CE= =

          同(1)可證△ADB≌△AEC.

          ∴∠DBA=∠ECA.

          ∵∠BEP=∠CEA,

          ∴△PEB∽△AEC,

          = ,

          =

          ∴PB= ,

          綜上,PB= .②解:a、如圖4中,以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PB的值最小.

          理由:此時(shí)∠BCE最小,因此PB最小,(△PBC是直角三角形,斜邊BC為定值,∠BCE最小,因此PB最。

          ∵AE⊥EC,

          ∴EC= = = ,

          由(1)可知,△ABD≌△ACE,

          ∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE= ,

          ∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,

          ∴四邊形AEPD是矩形,

          ∴PD=AE=1,

          ∴PB=BD﹣PD= ﹣1.

          b、如圖5中,以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓,當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí),PB的值最大.

          理由:此時(shí)∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜邊BC為定值,∠BCE最大,因此PB最大)

          ∵AE⊥EC,

          ∴EC= = = ,

          由(1)可知,△ABD≌△ACE,

          ∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=

          ∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,

          ∴四邊形AEPD是矩形,

          ∴PD=AE=1,

          ∴PB=BD+PD= +1.

          綜上所述,PB長(zhǎng)的最小值是 ﹣1,最大值是 +1


          【解析】(1)欲證明BD=CE,只要證明△ABD≌△ACE即可.(2)①分兩種情形a、如圖2中,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),BE=AB﹣AE=1.由△PEB∽△AEC,得 = ,由此即可解決問(wèn)題.b、如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BE=3.解法類(lèi)似.②a、如圖4中,以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PB的值最。産、如圖5中,以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓,當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí),PB的值最大.分別求出PB即可.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2)第三位客人乘車(chē)走了多少千米?

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          (2)小明家與小剛家相距多遠(yuǎn)?

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          (2).

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