Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)C（﹣3，0）在x軸下方作x軸的垂線，再以點(diǎn)A為圓心、5為半徑長畫弧，交先前所作垂線于D，連接AD（如圖），將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線上時(shí)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)．試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣6x+5；（2）m的值為5或7；（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣3）或（0，5）或（6，5）．

【解析】分析：（1）直接利用交點(diǎn)式可寫出拋物線的解析式；

（2）利用勾股定理計(jì)算出CD，則可確定D（-3，-3），過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E、F，如圖，解方程x2-6x+5=-3得到E（2，-3），F(xiàn)（4，-3），然后確定Rt△ACD沿x軸向左平移的距離，從而得到m的值；

（3）拋物線的對稱軸為直線x=3，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，E（2，-3），B（5，0），討論：若四邊形EBQP為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為6，則計(jì)算x=6對應(yīng)的函數(shù)值得到此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；若四邊形EBP′Q′為平行四邊形或四邊形EP″BQ″為平行四邊形時(shí)，利用同樣的方法可求出對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

詳解：（1）拋物線的解析式為y=（x﹣1）（x﹣5），

即y=x2﹣6x+5；

（2）∵AD=5，AC=1+3=4，

∴CD==3，

∴D（﹣3，﹣3），

過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E、F，如圖，

當(dāng)y=﹣3時(shí)，x2﹣6x+5=﹣3，解得x1=2，x2=4，則E（2，﹣3），F(xiàn)（4，﹣3），

∴ED=2﹣（﹣3）=5，F(xiàn)D=4﹣（3）=7，

∴m的值為5或7；

（3）拋物線的對稱軸為直線x=3，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，E（2，﹣3），B（5，0），

若四邊形EBQP為平行四邊形，點(diǎn)E向右平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到B點(diǎn)，則點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到Q點(diǎn)，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為6，當(dāng)x=6時(shí)，y=x2﹣6x+5=5，此時(shí)Q（6，5）；

若四邊形EBP′Q′為平行四邊形，點(diǎn)B向左平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到E點(diǎn)，則點(diǎn)P′向左平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到Q′點(diǎn)，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為0，當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣6x+5=5，此時(shí)Q′（0，5）；

若四邊形EP″BQ″為平行四邊形，點(diǎn)P″向左平移1個(gè)單位可得到E點(diǎn)，則點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位可得到Q″點(diǎn)，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x=4時(shí)，y=x2﹣6x+5=﹣3，此時(shí)Q′（4，﹣3），

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣3）或（0，5）或（6，5）．