Question

【題目】已知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y=x2-4x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．

（1）求點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（2）定義“L雙拋圖形”：直線x=t將拋物線L分成兩部分，首先去掉其不含頂點(diǎn)的部分，然后作出拋物線剩余部分關(guān)于直線x=t的對(duì)稱(chēng)圖形，得到的整個(gè)圖形稱(chēng)為拋物線L關(guān)于直線x=t的“L雙拋圖形”（特別地，當(dāng)直線x=t恰好是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，得到的“L雙拋圖形”不變），

①當(dāng)t=0時(shí)，拋物線L關(guān)于直找x=0的“L雙拋圖形”如圖所示，直線y=3與“L雙拋圖形”有______個(gè)交點(diǎn)；

②若拋物線L關(guān)于直線x=t的“L雙拋圖形”與直線y=3恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出t的取值范圍：______；

③當(dāng)直線x=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，“L雙拋圖形”如圖所示，現(xiàn)將線段AC所在直線沿水平（x軸）方向左右平移，交“L雙拋圖形”于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，滿足PQ=AC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）C（2，-1），A（1，0）；（2）①3，②0＜t＜4，③（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）

【解析】

（1）令y=0得：x2-4x+3=0，然后求得方程的解，從而可得到A、B的坐標(biāo)，然后再求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，最后將x=2代入可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；

（2）①拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），然后做出直線y=3，然后找出交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；②將y=3代入拋物線的解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而可得到直線y=3與“L雙拋圖形”恰好有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)t的取值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可得到“L雙拋圖形”與直線y=3恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)t的取值范圍；③首先證明四邊形ACQP為平行四邊形，由可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，然后由函數(shù)解析式可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

（1）令y=0得：x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，

將x=2代入拋物線的解析式得：y=-1，

∴C（2，-1）；

（2）①將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，

∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

如圖所示：作直線y=3，

由圖象可知：直線y=3與“L雙拋圖形”有3個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：3；

②將y=3代入得：x2-4x+3=3，解得：x=0或x=4，

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)0＜t＜4時(shí)，拋物線L關(guān)于直線x=t的“L雙拋圖形”與直線y=3恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：0＜t＜4．

③如圖2所示：

∵PQ∥AC且PQ=AC，

∴四邊形ACQP為平行四邊形，

又∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-1，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，

將y=1代入拋物線的解析式得：x2-4x+3=1，解得：x=+2或x=-+2．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（+2，1）或（-+2，1），

當(dāng)點(diǎn)P（-1，0）時(shí)，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）