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        1. 【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設(shè)運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y , 線段BP的長度記作y , y和y關(guān)于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示.

          (1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒cm,當t為何值時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是;
          (2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2 , 求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQCM= S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
          (4)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.

          【答案】
          (1)2,E( ,
          (2)解:∵PQ∥AC,

          ∴△PBQ∽△ABC,

          ∴△PBQ為等腰三角形,PQ=PB=t,

          ,即

          解得:BF= t,

          ∴FD=BD﹣BF=8﹣ t,

          又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t,

          ∴y= (PQ+MC)FD= (t+10﹣2t)(8﹣ t)= t2﹣8t+40;


          (3)解:存在;

          ∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40,

          當S四邊形PQCM= S△ABC時,y= t2﹣8t+40=20,

          解得:t=10﹣5 ,或t=10+5 (不合題意,舍);

          即:t=10﹣5 時,S四邊形PQCM= S△ABC


          (4)解:假設(shè)存在某一時刻t,使得M在線段PC的垂直平分線上,則MP=MC,

          過M作MH⊥AB,交AB與H,如圖所示:

          ∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,

          ∴△AHM∽△ADB,

          ,

          又∵AD=6,

          ,

          ∴HM= t,AH= t,

          ∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t,

          在Rt△HMP中,MP2=( t)2+(10﹣ t)2= t2﹣44t+100,

          又∵MC2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2,

          ∵MP2=MC2,

          t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2

          解得 t1= ,t2=0(舍去),

          ∴t= s時,點M在線段PC的垂直平分線上.


          【解析】解:(1)由圖2得,點M的運動速度為2cm/s,PQ的運動速度為1cm/s,

          ∵四邊形PQCM是平行四邊形,則PM∥QC,

          ∴AP:AB=AM:AC,

          ∵AB=AC,

          ∴AP=AM,即10﹣t=2t,

          解得:t=

          ∴當t= 時,四邊形PQCM是平行四邊形,此時,圖2中反映這一情況的點是E( ,

          所以答案是:2,E( , ).

          【考點精析】通過靈活運用相似三角形的性質(zhì),掌握對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題.

          練習冊系列答案
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          1)﹣20﹣(﹣18++5+(﹣9);

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          3)(1)÷(﹣);

          4)﹣14﹣(10.5)××[2﹣(﹣32]

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          1A、B兩種型號的設(shè)備每臺的價格是多少?

          2)若污水處理公司購買設(shè)備的預算資金不超過125萬元,你認為該公司有哪幾種購買方案?

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