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        1. 【題目】如圖①,ABC是正三角形,BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,D為頂點作一個60°角,角兩邊分別交AB,AC邊于MN兩點,連接MN.

          (1)探究:線段BM,MN,NC之間的關系,并加以證明。

          (2)若點MAB的延長線上的一點,NCA的延長線上的點,其它條件不變,請你再探線段BMMN,NC之間的關系,在圖②中畫出圖形,并說明理由。

          【答案】1MN=BM+NC.理由見解析;(2MN=NCBM,圖見解析,理由見解析;

          【解析】

          1)延長ACE,使得CE=BM并連接DE,構造全等三角形,找到相等的線段,MD=DE,再進一步證明DMN≌△DEN,進而得到MN=BM+NC

          2)按要求作出圖形,先證BMD≌△CED,再證MDN≌△EDNSAS),即可得出結論.

          (1)MN=BM+NC.理由如下:

          延長ACE,使得CE=BM(或延長ABE,使得BE=CN),并連接DE.

          ∵△BDC為等腰三角形,ABC為等邊三角形,

          BD=CD,DBC=DCB,MBC=ACB=60°,

          BD=DC,且∠BDC=120°

          ∴∠DBC=DCB=30°,

          ∴∠ABC+DBC=ACB+DCB=60°+30°=90°,

          ∴∠MBD=ECD=90°,

          MBDECD中,

          ,

          ∴△MBD≌△ECD(SAS),

          MD=DE

          ∴△DMN≌△DEN,

          MN=BM+NC.

          (2)按要求作出圖形,(1)中結論不成立,應為MN=NCBM.

          CA上截取CE=BM.

          ∵△ABC是正三角形,

          ∴∠ACB=ABC=60°,

          又∵BD=CD,BDC=120°

          ∴∠BCD=CBD=30°,

          ∴∠MBD=DCE=90°,

          在△BMD和△CED

          ,

          ∴△BMD≌△CED(SAS),

          DE=DM

          在△MDN和△EDN

          ,

          ∴△MDN≌△EDN(SAS)

          MN=NE=NCCE=NCBM.

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