Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，BC=5，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，連接AM、BM．
求：（1）△ABM的面積；
（2）∠MBC的正弦值．

Answer 1

分析：（1）首先作輔助線：延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，然后利用梯形的性質(zhì)，即可證得△ADM≌△NCM（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得CN的長(zhǎng)，即可求得Rt△ABN的面積，則可求得△ABM的面積；
（2）作輔助線：過點(diǎn)M作MK⊥BC，構(gòu)造Rt△BKM，即可求得∠MBC的正弦值．

解答：解：（1）延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，
∵點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM，
∴△ADM≌△NCM（AAS），
∴CN=AD=3，AM=MN=

1

2

AN，
∴BN=BC+CN=5+3=8，
∵∠ABC=90°，
∴S_△ABN=

1

2

×AB•BN=

1

2

×4×8=16，
∴S_△ABM=

1

2

S_△ABN=8；
∴△ABM的面積為8；

（2）過點(diǎn)M作MK⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴MK∥AB，
∴△NMK∽△NAB，
∴

MK

AB

=

MN

AN

=

1

2

，
∴MK=

1

2

AB=2，
在Rt△ABN中，AN=

AB2+BN2

=

42+82

=4

5

，
∴BM=

1

2

AN=2

5

，
在Rt△BKM中，sin∠MBC=

MK

BM

=

2

2 5

=

5

5

．
∴∠MBC的正弦值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理、三角函數(shù)等．此題綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)合理選擇輔助線是解題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們應(yīng)該多做積累．