Question

【題目】已知，如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．點(diǎn)D是直線AC上方拋物線上任意一點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P為線段AC上一點(diǎn)，且S△PCD=2S△PAD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接OD，過點(diǎn)A、C分別作AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分別為M、N．當(dāng)AM+CN的值最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，1）；（3）當(dāng)AM+CN的值最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B所在的位置結(jié)合點(diǎn)B的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，則△APE∽△ACO，由△PCD、△PAD有相同的高且S△PCD=2S△PAD，可得出CP=2AP，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AE、PE的長度，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接AC交OD于點(diǎn)F，由點(diǎn)到直線垂線段最短可找出當(dāng)AC⊥OD時(shí)AM+CN取最大值，過點(diǎn)D作DQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，則△DQO∽△AOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3t，4t），利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其負(fù)值即可得出t值，再將其代入點(diǎn)D的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

∵點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），

設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0）、B（，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，得：

，解得： ，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2﹣x+3；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，

∵△PCD、△PAD有相同的高，且S△PCD=2S△PAD，

∴CP=2AP，

∵PE⊥x軸，CO⊥x軸，

∴△APE∽△ACO，

∴，

∴AE=AO=，PE=CO=1，

∴OE=OA﹣AE=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，1）；

（3）如圖2，連接AC交OD于點(diǎn)F，

∵AM⊥OD，CN⊥OD，

∴AF≥AM，CF≥CN，

∴當(dāng)點(diǎn)M、N、F重合時(shí)，AM+CN取最大值，

過點(diǎn)D作DQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，則△DQO∽△AOC，

∴，

∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3t，4t）．

∵點(diǎn)D在拋物線y=﹣x2﹣x+3上，

∴4t=﹣3t2+t+3，

解得：t1=﹣（不合題意，舍去），t2=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），

故當(dāng)AM+CN的值最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．