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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(1,0),直線y=2x﹣1與y軸交于點C,與拋物線交于點C、D.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)求點A到直線CD的距離;

          (3)平移拋物線,使拋物線的頂點P在直線CD上,拋物線與直線CD的另一個交點為Q,點G在y軸正半軸上,當以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時,求出所有符合條件的G點的坐標.

          【答案】(1)拋物線的解析式為:y=x2﹣1.(2)點A到直線CD的距離為(3)符合條件的點G有兩個,其坐標為(0,4)或(0,9).

          【解析】

          試題分析:(1)首先求出點C坐標,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

          (2)設(shè)直線CD與x軸交于點E,求出點E的坐標,然后解直角三角形(或利用三角形相似),求出點A到直線CD的距離;

          (3)GPQ為等腰直角三角形,有三種情形,需要分類討論.為方便分析與計算,首先需要求出線段PQ的長度.

          方法一:

          解:(1)直線y=2x﹣1,當x=0時,y=﹣1,則點C坐標為(0,﹣1).

          設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,

          點A(﹣1,0)、B(1,0)、C(0,﹣1)在拋物線上,

          ,

          解得,

          拋物線的解析式為:y=x2﹣1.

          (2)如答圖2所示,直線y=2x﹣1,

          當y=0時,x=;

          設(shè)直線CD交x軸于點E,則E(,0).

          在RtOCE中,OC=1,OE=

          由勾股定理得:CE=,

          設(shè)OEC=θ,則sinθ=,cosθ=

          過點A作AFCD于點F,

          則AF=AEsinθ=(OA+OE)sinθ=(1+)×=,

          點A到直線CD的距離為

          (3)平移后拋物線的頂點P在直線y=2x﹣1上,

          設(shè)P(t,2t﹣1),則平移后拋物線的解析式為y=(x﹣t)2+2t﹣1.

          聯(lián)立,

          化簡得:x2﹣(2t+2)x+t2+2t=0,

          解得:x1=t,x2=t+2,

          即點P、點Q的橫坐標相差2,

          PQ===

          GPQ為等腰直角三角形,可能有以下情形:

          i)若點P為直角頂點,如答圖3①所示,

          則PG=PQ=

          CG====10,

          OG=CG﹣OC=10﹣1=9,

          G(0,9);

          ii)若點Q為直角頂點,如答圖3②所示,

          則QG=PQ=

          同理可得:G(0,9);

          iii)若點G為直角頂點,如答圖3③所示,

          此時PQ=,

          則GP=GQ=

          分別過點P、Q作y軸的垂線,垂足分別為點M、N.

          易證RtPMGRtGNQ,

          GN=PM,GM=QN.

          在RtQNG中,

          由勾股定理得:GN2+QN2=GQ2,

          即PM2+QN2=10 ①

          點P、Q橫坐標相差2,

          NQ=PM+2

          代入①式得:PM2+(PM+2)2=10,

          解得PM=1,

          NQ=3

          直線y=2x﹣1,

          當x=1時,y=1,

          P(1,1),

          即OM=1.

          OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4,

          G(0,4).

          綜上所述,符合條件的點G有兩個,其坐標為(0,4)或(0,9).

          方法二:

          (1)略.

          (2)作AFCD,垂足為F,KCD×KAF=﹣1,

          KCD=2,KAF=﹣,

          A(﹣1,0),lAF:y=﹣x﹣,

          lCD:y=2x﹣1,

          lAF與lCD的交點坐標F(,﹣),

          AF=

          (3)平移后拋物線的頂點P在直線y=2x﹣1上,設(shè)P(t,2t﹣1),

          則平移后拋物線的解析式為y=(x﹣t)2+2t﹣1,

          拋物線與直線的交點P(t,2t﹣1),Q(t+2,2t+3),

          以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形.

          ①點G可視為點Q繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°而成,將P點平移至原點P′(0,0),

          則Q′(2,4),將Q′點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,則G′(﹣4,2),

          將P′平移至P點,則G′平移后即為G(﹣4+t,2t+1),

          GX=0,t=4,G1(0,9),

          ②同理可得G2(0,9),

          ③點P可視為點Q繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°而成,設(shè)G(0,b),

          將G平移至原點,G′(0,0),則Q′(t+2,2t+3﹣b),

          將Q′繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,則P′(2t+3﹣b,﹣t﹣2),

          將G′平移至G點,則P′平移后即為P(2t+3﹣b,﹣t﹣2+b),

          2t+3﹣b=t,﹣t﹣2+b=2t﹣1,t=1,b=4,

          G3(0,4),

          綜上所述,滿足題意的點G1(0,9),G2(0,4).

          練習冊系列答案
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          (2)當x 時,kx+b>mx+t;

          當x 時,kx+b<mx+t;

          當x 時,kx+b=mx+t;

          (3)在x軸上有一動點H,使得OBH為等腰三角形,求H的坐標.

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