Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝x+3的圖象分別與y軸，x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA以每秒1個單位的速度運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．

（1）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，若某一時刻，△OPA的面積為3，求此時P的坐標(biāo)；

（2）在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，△AOP為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，）或（2，）；（2）當(dāng)t的值為2、8、和時，△AOP為等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得A、B的坐標(biāo)，用m表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用面積可求得m的值，進(jìn)一步求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）可用t表示出BP、AP的長，分AP＝AO、AP＝OP和OP＝AO三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

（1）當(dāng)x＝0時，y＝3，

當(dāng)y＝0時，x＝4，

則A（0，3），B（4，0），

∴AO＝3，BO＝4，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+3），

∵△OPA的面積為3，

∴×3×|m|＝3，

解得：m＝±2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，）或（2，）．

（2）∵AO＝3，BO＝4，

∴AB＝，

由題意可知BP＝t，AP＝5﹣t，

當(dāng)△AOP為等腰三角形時，有AP＝AO、AP＝OP和AO＝OP三種情況．

①當(dāng)AP＝AO時，則有5﹣t＝3，解得t＝2；或t﹣5＝3，解得t＝8；

②當(dāng)AP＝OP時，過P作PM⊥AO，垂足為M，如圖1，

則M為AO中點(diǎn)，故P為AB中點(diǎn)，此時t＝；

③當(dāng)AO＝OP時，過O作ON⊥AB，垂足為N，過P作PH⊥OB，垂足為H，如圖2，

則NP＝AN＝AP＝（5﹣t），

∵S△AOB＝，

∴ON＝，

∵，

∴，

∴t＝，

綜上可知當(dāng)t的值為2、8、和時，△AOP為等腰三角形．