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        1. (本題滿分13分)如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.

          ⑴ 求證:△AMB≌△ENB;
          ⑵ ①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最。
          ②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小,并說明理由;
          ⑶ 當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí),求正方形的邊長.

          (1)△AMB≌△ENB,證明略。
          (2)
          ①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最小.
          ②連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),
          AM+BM+CM的值最小,圖略
          (3)
          (滿分13分)解:⑴∵△ABE是等邊三角形,
          ∴BA=BE,∠ABE=60°.
          ∵∠MBN=60°,
          ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
          即∠BMA=∠NBE.
          又∵M(jìn)B=NB,
          ∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………5分
          ⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最小.………………7分
          ②如圖,連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),

          AM+BM+CM的值最小. ………………9分
          理由如下:連接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
          ∴AM=EN.
          ∵∠MBN=60°,MB=NB,
          ∴△BMN是等邊三角形.
          ∴BM=MN.
          ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. ………………10分
          根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
          ∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長.……11分
          ⑶過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F,
          ∴∠EBF=90°-60°=30°.
          設(shè)正方形的邊長為x,則BF=x,EF=.
          在Rt△EFC中,
          ∵EF2+FC2=EC2,
          ∴(2+(x+x)2. ………………12分
          解得,x=(舍去負(fù)值).
          ∴正方形的邊長為.………………13分
          練習(xí)冊系列答案
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