Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條非直徑的弦，且AB∥CD，連接AD和BC，
（1）AD和BC相等嗎？為什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四點(diǎn)在同一拋物線上，請?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出該拋物線的解析式．
（3）在（2）中所求拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PAB=

1

2

S_{四邊形ABCD}？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）AD=BC．
理由如下：∵AB∥CD，
∴

AD

=

BC

，
∴AD=BC；

（2）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，∵AB=2AD=4，
∴AO=BO=2，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（2，0），
連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥AO于點(diǎn)E，
則OD=AO=2，
∴△AOD是等邊三角形，
OE=

1

2

AO=

1

2

×2=1，
DE=

OD2-OE2

=

22-12

=

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，

3

），
設(shè)過A、B、C、D四點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=0 4a+2b+c=0 a-b+c= 3

，
解得

a=- 3 3 b=0 c= 4 3 3

，
所以，該拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

4 3

3

；

（3）存在．理由如下：
由對稱性可得CD=2OE=2×1=2，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

，
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，∵S_△PAB=

1

2

S_{四邊形ABCD}，
∴

1

2

×4•h=

1

2

×3

3

，
解得h=

3 3

4

，
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

3 3

4

，
所以，-

3

3

x²+

4 3

3

=

3 3

4

，
解得x=±

7

2

，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

2

，

3 3

4

）或（

7

2

，

3 3

4

），
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-

3 3

4

，
所以，-

3

3

x²+

4 3

3

=-

3 3

4

，
解得x=±

5

2

，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

2

，-

3 3

4

）或（

5

2

，-

3 3

4

），
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P（-

7

2

，

3 3

4

）或（

7

2

，

3 3

4

）或（-

5

2

，-

3 3

4

）或（

5

2

，-

3 3

4

），使得S_△PAB=

1

2

S_{四邊形ABCD}．