Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，過作軸交拋物線于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．

求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；

若點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，過作軸交拋物線于點(diǎn)，連接、，當(dāng)時，求的值；

如圖，連接，及，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，將沿邊翻折得到，求當(dāng)為何值時，與重疊部分的面積是面積的．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)；（2）；（3）當(dāng)或時，與重疊部分的面積是面積的．

【解析】

（1）列方程組可知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，列方程可求得點(diǎn)C坐標(biāo)．
（2）如圖1中，設(shè)，，則，根據(jù) 列出方程求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計算即可解決問題．
（3）分兩種情形①若翻折后，點(diǎn)G在直線OC下方時，連接CG．如圖2，可證四邊形PFCG是平行四邊形，得，在Rt△PBO中，根據(jù)，即可解決問題．②若翻折后，點(diǎn)G在直線OC上方時，連接CG．如圖3，可證四邊形PFGC是平行四邊形，得即可解決問題．

解：由解得或，

∴點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，

∵軸，

∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

由，解得或，

∴點(diǎn)坐標(biāo)．

如圖中，設(shè)，，則，

由題意，

解得或（舍棄），

∴．

∵，，

∴，，，

∵，

∴．

①若翻折后，點(diǎn)在直線下方時，連接．如圖，

∵，

∴，

∴．，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

在中，，

∴．

②若翻折后，點(diǎn)在直線上方時，連接．如圖，

∵，

∴，

∴．，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

綜上所述:當(dāng)或時，與重疊部分的面積是面積的．