Question

如圖，A、B、C是⊙0上的三點，以BC為一邊，作∠CBD=∠ABC，過BC上一點P，作PE∥AB交BD于點E。若∠AOC=60°，BE=，則點P到弦AB的距離為_____

Answer 1

3

圓周角定理知：∠ABD= ∠AOD=30°，由于BD平分∠ABC，且PE∥AB，可得到∠PEC=2∠DBC=60°，由此可證得△PEB是等腰三角形，即PE=BE=2，過P作BC的垂線PM，通過解直角三角形易求得PM的值，而BD是∠ABC的角平分線，所以P到弦AB、BC的距離相等，由此得解．

解：過P作PF⊥AB，PG⊥BD；
∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于點E，∠AOC=60°，BE=2，
∴∠CBD=∠ABC=30°；
∵BC為∠ABD的角平分線，PF=PG，
∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°，即PE=BE=2；
∴∠PEG=∠BPE+∠CDB=30°+30°=60°；
∵PG⊥BD，
∴∠PGE=90°；
∴sin∠PEG=；
即=；
∴PG=×PE=×2=3．
故答案為：3．
此題考查的知識點有：圓周角定理、角平分線的定義和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識的綜合應用，難度適中．