Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)E是線段AC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合）

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；

（2）如圖1，點(diǎn)F是線段AB上的點(diǎn)，若∠BEF=∠BAO，∠BAO=2∠OBE，求證：AF=CE；

（3）如圖2，若點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連接ED，滿(mǎn)足BE=BD，試探究∠ABE與∠DEC的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）（-a，0）．（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠ABE=2∠DEC．

【解析】

（1）利用對(duì)稱(chēng)性直接寫(xiě)成點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)先判斷出，∠ABE=∠BFE，進(jìn)而得出BE=EF，在判斷出，∠CBE=∠AEF，進(jìn)而判定，△AEF≌△CBE，即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)∠OBE=α，∠CBE=β，用三角形的內(nèi)角和表示出∠ABE=2α+β，利用等腰三角形的性質(zhì)表示出∠DEC=（2α+β），即可得出結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)A（a，0）與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴C（-a，0），

故答案為（-a，0）．

（2）設(shè)∠OBE=α，

∴∠BAO=2∠OBE=2α，∠BEF=∠BAO=α，

由對(duì)稱(chēng)得，OA=OC，

∵BO⊥AC，

∴AB=CB，

∴∠BAO=∠BCO=2α，

∴∠ABE=∠ABO+∠OBE=90°-α，

在△BEF中，∠BFE=180°-（∠BEF+∠EBF）=90°-α，

∴∠ABE=∠BFE，

∴BE=EF，

在Rt△AOB中，∠ABO=90°-2α，

∴∠ACB=2α，∠CBO=∠90°-2α，

∵∠OBE=α，

∴∠CBE=90°-3α，

在△BCE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠BEC=90°+α，

∴∠AEF=180°-∠BEF-∠BEC=90°-3α，

∴∠CBE=∠AEF，

在△AEF和△CBE中，，

∴△AEF≌△CBE，

∴AF=CE，

（3）設(shè)∠OBE=α，∠CBE=β，

∴∠CBO=α+β，由（1）知，∠ABO=∠CBO=α+β，

∴∠ABE=∠ABO+∠OBE=α+β+α=2α+β，

在Rt△OBE中，∠OEB=90°-α，

在△BDE中，BD=BE，

∴∠BED=90°-β，

∴∠DEC=180°-∠OEB-∠BED=（2α+β），

∵∠ABE=2α+β，

∴∠ABE=2∠DEC．