Question

【題目】下面是小東設(shè)計(jì)的“作圓的一個(gè)內(nèi)接矩形，并使其對(duì)角線的夾角為”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：.求作：矩形，使得矩形內(nèi)接于，且其對(duì)角線的夾角為.

作法：如圖，

①作的直徑；

②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線上方的圓弧于點(diǎn)；

③連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)；

④連接.

所以四邊形就是所求作的矩形,根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）.

（2）完成下面的證明.

證明：∵點(diǎn)都在上，

∴.

同理.

∴四邊形是平行四邊形.

∵是的直徑，

∴（ ）（填推理的依據(jù)）.

∴四邊形是矩形.

∵ ，

∴.

∴四邊形是所求作的矩形.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直徑所對(duì)圓周角為直角，.

【解析】

（1）根據(jù)作法畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；

（2）先根據(jù)圓的基本性質(zhì)得OA=OA，OB=OD，從而可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形．再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得，從而可得四邊形ABCD是矩形.

（1）如圖，四邊形ABCD為所作；

（2）完成下面的證明.

證明：∵點(diǎn)都在上，

∴.

同理.

∴四邊形是平行四邊形.

∵是的直徑，

∴（直徑所對(duì)圓周角為直角）.

∴四邊形是矩形.

∵AO，

∴.

∴四邊形是所求作的矩形.