Question

（1）問題探究
如圖1，分別以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，過點C
作直線KH交直線AB于點H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分別為點M，N．試探究線段D₁M與線段D₂N的數(shù)量關系，并加以證明．
（2）拓展延伸
①如圖2，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K₁H₁，K₂H₂，分別交直線AB于點H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分別為點M，N．D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
②如圖3，若將①中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變．D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在
圖3中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明）

Answer 1

解：（1）D₁M=D₂N。證明如下：
∵∠ACD₁=90°，∴∠ACH+∠D₁CK=180°﹣90°=90°。
∵∠AHK=∠ACD₁=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°。
∴∠D₁CK=∠HAC。
在△ACH和△CD₁M中，∠D₁CK=∠HAC，∠AHC="∠C" M D₁=90°，AC="C" D₁，
∴△ACH≌△CD₁M（AAS）�！郉₁M=CH。
同理可證D₂N=CH。
∴D₁M=D₂N。
（2）①D₁M=D₂N成立。證明如下：
過點C作CG⊥AB，垂足為點G，

∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM。
在△ACG和△CD₁M中，∠H₁AC=∠D₁CM，∠AGC="∠C" M D₁=90°，AC="C" D₁，
∴△ACG≌△CD₁M（AAS）�！郈G=D₁M。
同理可證CG=D₂N。
∴D₁M=D₂N。
②作圖如下：

D₁M=D₂N還成立。

解析