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        1. 【題目】在平行四邊形ABCD中,在平行四邊形內作以線段AD為邊的等邊ADM,連結AM

          1)如圖1,若點M在對角線BD上,且∠ABC=105°,AB=,求AM的長;

          2)如圖2,點ECD邊上一點,連接ME,點FBM的中點,,若CEME=DE.求證:BMME

          【答案】122)見解析

          【解析】

          1)過點AAHBDH,根據(jù)∠ABC=105°和等邊三角形、平行四邊形的性質得到△ABH為等腰直角三角形,求出AH,再得到AD的長,即可求出AM的長;

          2)在ED上取點G,使得CGBM,連接EB,EG.證明△MEC≌△MGDSAS),△EMG是等邊三角形,再得到CFME即可解決問題.

          1)過點AAHBDH,

          △ADM等邊三角形,

          ∠ADM=60°,∠DAH=30°

          ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

          ∠CBD=∠ADM=60°

          ∠ABC=105°,

          ∴∠ABD=∠ABC -∠CBD=45°

          △ABH為等腰直角三角形

          Rt△ABH中,AH2BH2AB2,即2AH218,

          AH=3,

          RtADH中,∠DAH=30°,

          AD2DHDH2AH2AD2,即(232AD2,

          AD2,

          AMAD2;

          2)如圖,在ED上取點G,使得DGCE,連接CM,MG

          FBM的中點,CFBM

          BCCM,

          △BCM是等腰三角形,

          CFBM,

          ∴∠3=∠4,

          ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

          BCAD,BCAD

          ∵△ADM是等邊三角形,

          DMAD,∠ADM60,

          BCCM,BCAD,

          CMDM,

          ∴∠1=∠2,

          CEDG

          ∴△MEC≌△MGDSAS),

          EMMG

          CEME=DE,CG=DE

          CEME=CG= CEEG

          ME= EG

          EMMG= EG

          △EMG是等邊三角形

          ∴∠MEG60

          BCAD,

          ∴∠BCD+∠ADC180,即∠ADM+∠1+∠2+∠3+∠4180

          ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠ADM60,

          ∴∠2+∠360°,即∠FCG60

          ∴∠MEG=∠FCG60,

          CFEM,

          CFBM

          BM⊥ME

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