Question

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）的圖象與軸正半軸交于A點(diǎn)．
（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線l，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，要證明二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，只要對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的判別式大于0即可.
（2）求出直線AB的解析式，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得直線l的解析式.
（3）求出點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)所在的二次函數(shù)解析式，由其在直線l的下方求出m的取值范圍．
試題解析：（1）令，則
.
∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)，
∴，且.
又，∴.
∴.
∴該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）令，解得：．
由（1）得，故B的坐標(biāo)為（1，0）．
又因?yàn)椤螦BO=45°，所以，即.
則可求得直線AB的解析式為.
再向下平移2個(gè)單位可得到直線．
（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式為
∵M(jìn)（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴.
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∴點(diǎn)在二次函數(shù)上.
∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
結(jié)合圖象可知：，
解得：.
∴的取值范圍為．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)；3．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；4．一元二次方程根的判別式.