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        1. (2012•鐵嶺)已知△ABC是等邊三角形.
          (1)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O.       
          ①如圖a,當(dāng)θ=20°時(shí),△ABD與△ACE是否全等?
          (填“是”或“否”),∠BOE=
          120
          120
          度;
          ②當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí),求∠BOE的度數(shù);
          (2)如圖c,在AB和AC上分別截取點(diǎn)B′和C′,使AB=
          3
          AB′,AC=
          3
          AC′,連接B′C′,將△AB′C′繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O,請利用圖c探索∠BOE的度數(shù),直接寫出結(jié)果,不必說明理由.
          分析:(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD=AC=AE,∠BAD=∠CAE,然后利用“邊角邊”證明△ABD與△ACE全等;根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABD與∠AEC的度數(shù),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為20°求出∠BAE的度數(shù),然后利用四邊形的內(nèi)角和公式求解即可;
          ②先利用“邊角邊”證明△BAD和△CAE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB=∠AEC,再利用四邊形ABOE的內(nèi)角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°,再根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°得到∠DAE=60°,從而得解;
          (2)先求出B′C′∥BC,證明△AB′C′是等邊三角形,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得AD=AE,∠BAD=∠CAE,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD=∠ACE,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù),然后分0°<θ≤30°與30°<θ<180°兩種情況求解.
          解答:解:(1)①∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ得到,△ABC是等邊三角形,
          ∴AB=AD=AC=AE,∠BAD=∠CAE=20°,
          在△ABD與△ACE中,
          AB=AC
          ∠BAD=∠CAE
          AD=AE
          ,
          ∴△ABD≌△ACE(SAS);
          ∵θ=20°,
          ∴∠ABD=∠AEC=
          1
          2
          (180°-20°)=80°,
          又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°,
          ∴在四邊形ABOE中,∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°;

          ②由已知得:△ABC和△ADE是全等的等邊三角形,
          ∴AB=AD=AC=AE,
          ∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ得到的,
          ∴∠BAD=∠CAE=θ,
          ∴△BAD≌△CAE,
          ∴∠ADB=∠AEC,
          ∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°,
          ∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°,
          ∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°,
          ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,
          ∴∠DAE+∠BOE=180°,
          又∵∠DAE=60°,
          ∴∠BOE=120°;

          (2)如圖,∵AB=
          3
          AB′,AC=
          3
          AC′,
          AB′
          AB
          =
          AC′
          AC
          =
          3
          3

          ∴B′C′∥BC,
          ∵△ABC是等邊三角形,
          ∴△AB′C′是等邊三角形,
          根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得AD=AE,∠BAD=∠CAE,
          在△ABD和△ACE中,
          AB=AC
          ∠BAD=∠CAE
          AD=AE
          ,
          ∴△ABD≌△ACE(SAS),
          ∴∠ABD=∠ACE,
          ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB),
          =180°-(∠OBC+∠ACB+∠ACE),
          =180°-(∠OBC+∠ACB+∠ABD),
          =180°-(∠ACB+∠ABC),
          =180°-(60°+60°),
          =60°,
          當(dāng)0°<θ<30°時(shí),∠BOE=∠BOC=60°,
          當(dāng)30°<θ<180°時(shí),∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°.
          點(diǎn)評:本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出證明全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵.
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          (3)點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā),沿對稱軸向上以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若能,請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;若不能,請說明理由.

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