Question

【題目】在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF垂直于AC交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，將△AEF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)△A′CD時(shí)等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四邊形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′
①當(dāng)CD=CA′時(shí)，∵AA′=AC﹣CA′=3，
∴AP= AA′= ．
②當(dāng)A′C=A′D時(shí)，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，
∴△A′CD∽△DAC，
∴ = ，
∴A′C= ，
∴AA=8﹣ = ，
∴AP= AA′= ．
故答案為 或 ．

首先證明四邊形AEA′F是菱形，分兩種情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分別計(jì)算即可．