Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是位于直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，問是否存在點(diǎn)P，使以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBO相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)代入y=ax2+bx+c，

得 ，解得 ，

則拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入y=mx+n，

得 ，解得 ，

所以直線BC的解析式為y=﹣x+3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣4t+3），則Q坐標(biāo)為（t，﹣t+3），

∴PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，PQ的值最大，最大值為 ；

（3）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∵點(diǎn)M是對稱軸與直線BC的交點(diǎn)，

∴將x=2代入y=﹣x+3，得y=﹣2+3=1，即M（2，1）．

∵PQ∥y軸，

∴∠PQB=∠OCB，

∴以M，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似包含兩種情況：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC．

①當(dāng)△PMQ∽△OBC時(shí)，∠QPM=∠COB=90°，即PM⊥PQ，

∴yP=yM=1，

將yP=1代入y=x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3=1，

解得x1=2﹣ ，x2=2+ （舍去），

∴此時(shí)P（2﹣ ，1）；

②當(dāng)△MPQ∽△OBC時(shí)，∠QMP=∠COB=90°，即PM⊥BC，

∴kPM= =1，

∴可設(shè)直線PM的解析式為y=x+d，

將M（2，1）代入y=x+d，

得2+d=1，解得d=﹣1，

∴y=x﹣1，

解方程組 ，得 ， （舍去），

∴此時(shí)P（1，0）．

綜上所述，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)M，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣ ，1）或（1，0）．

【解析】（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)代入y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=﹣x+3．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣4t+3），則Q坐標(biāo)為（t，﹣t+3），那么PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，再利用配方法化為頂點(diǎn)式，即可求出PQ的最大值；（3）由PQ∥y軸，得出∠PQB=∠OCB，那么以M，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似包含兩種情況：①當(dāng)△PMQ∽△OBC時(shí)，PM⊥PQ，yP=yM=1，易求P（2﹣ ，1）；②當(dāng)△MPQ∽△OBC時(shí)，先求直線PM的解析式，再聯(lián)立PM與拋物線的解析式，求出P（1，0）．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．