Question

【題目】某服裝廠里有許多剩余的三角形邊角料，找出一塊△ABC，測(cè)得∠C=90°（如圖），現(xiàn)要從這塊三角形上剪出一個(gè)半圓O，做成玩具，要求：使半圓O與三角形的兩邊AB、AC相切，切點(diǎn)分別為D、C，且與BC交于點(diǎn)E．

（1）在圖中設(shè)計(jì)出符合要求的方案示意圖．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

（2）Rt△ABC中，AC=3，AB=5，連接AO，求出AO的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）AO為．

【解析】

（1）以∠A的平分線與BC的交點(diǎn)為圓心，以到C的距離為半徑的半圓即為所求；
（2）連接OD，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得BC=4，根據(jù)切線的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系得到BD=2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=4-r，根據(jù)勾股定理求得半徑，再在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理求得AO．

(1) 半圓O就是所求的圖形，

（2）連接OD，

∵Rt△ABC中，AC=3，AB=5，根據(jù)勾股定理得BC=4，

由題意可知，AB是⊙O的切線，

∴∠ODB=90°，AD=AC=3，

∴BD=2，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=4-r，

∴r2+22=（4-r）2.

解得，

在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理得.