Question

(2005　煙臺)(1)如圖a所示，直線MN與⊙O相交，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P，過點P的直線與⊙O交于C、D兩點，直線AC交MN于點E，直線AD交MN于點F．

a)

求證：(1)PC·PD=PE·PF；

(2)如圖b所示，若直線MN與⊙O相離，(1)中的其余條件不變，那么(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

b)

(3)在圖c中，直線MN與⊙O相離，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P．①請按要求畫出圖形：畫⊙O的割線PCD(PC＜PD，直線BC與MN交于E，直線BD與MN交于F．

c)

②能否得到(1)中的結(jié)論？請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)證明：如圖所示，連接BD ∵AB是⊙O直徑， ∴∠ADB=90°． ∴∠ADC＋∠BDC=90°．∵MN⊥AB， ∴∠AEP＋∠BAC=90°． ∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=∠AEP． ∵∠DPF=∠EPC，∴△PDF∽△PEC． ∴． ∴PC·PD=PE·PF． (2)結(jié)論仍然成立． 證明：如圖所示，連接BD． ∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=90°． ∴∠ABD＋∠BAD=90°． ∵∠ACD=∠PCE，∠ABD=∠ACD， ∴∠PCE＋∠BAD=90°． ∵MN⊥AB，∴∠PFA＋∠BAD=90°． ∴∠PCE=∠PFA．∴∠EPC=∠FPD， ∴△PCE∽△PFD． ∴． ∴PC·PD=PE·PF． (3)畫圖(圖)，結(jié)論仍然成立． 證明：如圖 連接AC ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∵AP⊥MN，∴∠BPE=90°． ∵∠ABC=∠EBP，∴∠A=∠PEB． 又∵∠D=∠A，∴∠D=∠PEB．又∠DPE公用， ∴△DPF∽△EPC．∴． ∴PC∶PD=PE∶PF．