Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：交y軸于點(diǎn)A．拋物線的圖象過點(diǎn)E（－1，0），并與直線l相交于A、B兩點(diǎn)．

⑴ 求拋物線的解析式；
⑵ 設(shè)點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
⑶ 在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式是：
（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
（3）在x軸上存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是：M₁(－，0)，M₂(，0)，M₃(，0)，M₄(，0)

試題分析：⑴ 直線l：交y軸于點(diǎn)A(0，2)，
∵A（0，2）、E（－1，0）是拋物線上的點(diǎn)，
∴，解得．
∴拋物線的解析式是：．
⑵ ∵=，∴對(duì)稱軸為x=，
點(diǎn)E（－1，0）關(guān)于x=的對(duì)稱點(diǎn)為F(4，0)．

如圖⑴所示，聯(lián)結(jié)AF，與對(duì)稱軸x=的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，由于E、F兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則此時(shí)△PAE的周長(zhǎng)=PA+PE+AE
=" PA+PF+AE=" AF+AE最小．
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+2，
把F（4，0）代入，可得4k+2=0，解得k＝－，
∴直線AF解析式為y=－x＋2．
當(dāng)x=時(shí)，y=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
⑶ 設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形，
① 若∠BAM=90⁰，此時(shí)點(diǎn)M應(yīng)在x軸的負(fù)半軸上，如圖⑵，
設(shè)直線l：交x軸于點(diǎn)C，令y=0，得x=6，∴C（6，0）．
由AM₁⊥AB，OA⊥OC，可證△AOC∽△M₁OA，
∴．
∵AO=2，OC=6，∴，
∴OM₁=，∴M₁(－，0)．
② 若∠ABM=90°，此時(shí)點(diǎn)M應(yīng)在x軸的正半軸上，如圖⑵，

∵點(diǎn)B是直線和拋物線的交點(diǎn)，
∴，解得，或(舍)
∴B(，)．
解法一：設(shè)M(m，0)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則有△BDM∽△CDB，
∴ ．
∵BD=，M₂D=－m，CD=6－=，
∴，解得m=，∴M₂(，0)．
解法二：過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵BM₂∥AM₁， ∴∠BM₂D=∠AM₁O，
∵tan∠AM₁O＝＝3，
∴tan∠BM₂D＝＝＝3，
∴M₂D=．∴OM₂=OD－M₂D=－=，
∴M₂(，0)．
③ 若∠AMB=90°，則點(diǎn)M是以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M應(yīng)在x軸的正半軸上，如圖⑶，
設(shè)M(t，0)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則有△AOM∽△MDB，

∴．
∵AO=2，MD=－t，OM=t，BD=，
∴，解得，
∴M₃(，0)，M₄(，0)．
綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是：M₁(－，0)，M₂(，0)，M₃(，0)，M₄(，0)．
點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)性質(zhì)與坐標(biāo)關(guān)系，探究點(diǎn)的存在性問題，幾何圖形形式問題和直角三角形性質(zhì)綜合，中考常見壓軸題目種類，難度較大。