Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊向右側(cè)作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°．

（1）如圖2，G，H分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DG，AH，EH．求證：△AGD∽△AHE；

（2）如圖3，連接BE，直接寫出當(dāng)BD為何值時(shí)，△ABE是等腰三角形；

（3）在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求△ABE周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)BD=0或或時(shí)，△ABE是等腰三角形.；（3）△ABE周長(zhǎng)最小值為．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；

（2）分三種情況：

①當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=0，如圖3，此時(shí)AB=BE；

③當(dāng)AB=AE時(shí)，如圖4，此時(shí)E與C重合，可得BD的長(zhǎng)；

③當(dāng)AB=BE時(shí)，如圖5，作輔助線，構(gòu)建等腰直角三角形和全等三角形，證明△ADM≌△DEG，和△EMG是等腰直角三角形，則ME=MG，根據(jù)（1）得：△AHD∽△AME，且，可計(jì)算BD的長(zhǎng)；

（3）先確定△ABE周長(zhǎng)的最小值時(shí)，E的位置：作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接AN交MC于點(diǎn)E′，此時(shí)△ABE′就是所求周長(zhǎng)最小的△ABE；證明四邊形ABMC是正方形，根據(jù)△ABD∽△AME，得∠AME=∠ABD=45°，知點(diǎn)E在射線MC上，利用勾股定理求AN的長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)定義可得結(jié)論．

（1）證明：如圖2，由題意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠B=∠DAE=45°．

∵H為BC中點(diǎn)，

∴AH⊥BC．

∴∠BAH=45°=∠DAE．

∴∠GAD=∠HAE．

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，

AH＝AB＝AG，AE＝AD．

∴，

∴△AGD∽△AHE；

（2）解：分三種情況：

①當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=0，如圖3，此時(shí)AB=BE；

③當(dāng)AB=AE時(shí)，如圖4，此時(shí)E與C重合，

∴D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=BC=2；

③當(dāng)AB=BE時(shí)，如圖5，過(guò)E作EH⊥AB于H，交BC于M，連接AM，過(guò)E作EG⊥BC于G，連接DH，

∵AE=BE，EH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AM=BM，

∵∠ABC=45°，

∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形，

∵AD=DE，∠ADE=90°，

易得△ADM≌△DEG，

∴DM=EG，

∵∠EMG=∠BMH=45°，

∴△EMG是等腰直角三角形，

∴ME=MG，

由（1）得：△AHD∽△AME，且，

∴∠AHD=∠AME=135°，ME=DH，

∴∠BHD=45°，MG=DH，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD=DH=EG=DM=；

綜上所述，當(dāng)BD=0或或2時(shí)，△ABE是等腰三角形；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn)M，連接CM，如圖6，

此時(shí)，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC．

∴四邊形ABMC是正方形．

∴∠BMC=90°，

∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°，

∵∠BAM=∠DAE=45°，

∴∠BAD=∠MAE，

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，

AM＝AB，AE＝AD．

∴．

∴△ABD∽△AME．

∴∠AME=∠ABD=45°

∴點(diǎn)E在射線MC上，

作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接AN交MC于點(diǎn)E′，

∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，

∴△ABE′就是所求周長(zhǎng)最小的△ABE．

在Rt△ABN中，

∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，

∴AN＝．

∴△ABE周長(zhǎng)最小值為AB+AN＝4+4．